Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7387] imt PC 2021 Soit \(a>0\). On pose \(A=\pmatrix{0&a&a^2\cr1&0&1\cr1/a&1/a^2&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer ses espaces propres.

[examen/ex0594] imt MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}^{+*}\) et \(M=\pmatrix{1&\frac ba&\frac ca\cr\frac ab&1&\frac cb\cr\frac ac&\frac bc&1}\). Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de \(M\).

[concours/ex6647] hec B/L 2008 Soit \(J\) la matrice : \[J=\left(\begin{array}{ccc} 0&2&1\\0&-1&2\\0&1&0\end{array}\right).\]

1. Déterminer les valeurs propres de \(J\).

   La matrice \(J\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer les valeurs de \(a\in\mathbf{R}\) pour que la matrice : \[M_a=\left(\begin{array}{ccc}a^3&2&1\\0&a^3-1&2\\0&1&a^3\end{array}\right)\] soit inversible.

[oraux/ex8592] PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{5&1&-1\cr2&4&-2\cr1&-1&3}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable.

2. Calculer \(A^n\).

3. Soient \(u_0=v_0=w_0=1\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(\cases{u_{n+1}=5u_n+v_n-w_n\cr v_{n+1}=2u_n+4v_n-2w_n\cr w_{n+1}=u_n-v_n+3w_n}\).

   Pour \(n\in\mathbf{N}\), calculer \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\).

[planches/ex4125] imt PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&a&1\cr a&0&1\cr a&1&0}\) avec \(a\in\mathbf{R}\).

1. Donner le rang de \(A\).

2. Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?