Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2528] centrale PSI 2017 Soient \(A\in\mathscr{M}_{2,3}(\mathbf{R})\) et \(B\in\mathscr{M}_{3,2}(\mathbf{R})\) deux matrices telles que \(AB=\pmatrix{1&0&x\cr0&1&0\cr1&0&1}\).

1. La matrice \(AB\) est-elle inversible ? Quelles sont les valeurs de \(x\) possibles ?

2. La matrice \(BA\) est-elle diagonalisable ?

3. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits A\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits B\).

4. Montrer qu’il existe une infinité de couples de matrices \((A,B)\) vérifiant l’hypothèse donnée dans cet exercice.

[examen/ex2525] ccinp PSI 2024 Pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(M_\alpha=\pmatrix{1&3&0\cr0&4&0\cr\alpha&-2\alpha&\alpha+1}\).

1. La matrice \(M_\alpha\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le rang de \(M_\alpha\).

3. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) tel que \(M_{-1}=P\Delta P^{-1}\) avec \(\Delta=\pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&4}\).

4. Montrer qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=M_{-1}\) si et seulement s’il existe \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\Delta\).

5. Soit \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\Delta\). Montrer que \(B\Delta=\Delta B\).

6. En déduire les solutions \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) de \(B^2=\Delta\).

7. En déduire les solutions \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) de \(A^2=M_{-1}\).

[planches/ex2708] ccp PSI 2017

1. Déterminer le spectre de la matrice \(A=\pmatrix{6&-4&-3\cr4&-2&-3\cr3&-3&-1}\).

2. Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.

3. Expliciter une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) telle que \(u\) et \(v\) soient des vecteurs propres de \(A\).

4. La matrice \(A\) est-elle trigonalisable ?

[planches/ex2451] centrale MP 2017 (avec Python)

Soit, pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), \(M_{a,b}\) la matrice \(M_{a,b}=\pmatrix{3a+b&-4a-b&2a\cr2a+b&-3a-b&2a\cr b&-b&a}\). On pose \[F=\{M_{a,b},\ (a,b)\in\mathbf{C}^2\}\] et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(R_n=\{(a,b)\in\mathbf{C}^2,\ (M_{a,b})^n=I_3\}\).

1. Programmer la fonction \(m(a,b)\) qui renvoie la matrice \(M_{a,b}\).

2. Calculer les produits \(M_{0,1}M_{1,0}\), \(M_{1,0}M_{0,1}\), \(M_{0,1}^2\), \(M_{1,0}^2\).

3. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel. Est-ce une sous-algèbre ?

4. Déterminer la plus petite sous-algèbre contenant \(F\). Quelle est sa dimension ? Est-elle commutative ?

5. Déterminer les éléments de \(R_n\).

6. Montrer que si \(M_{a,b}\) est diagonalisable alors \(bM_{0,1}\) aussi. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M_{a,b}\) soit diagonalisable.

[concours/ex9087] hec courts S 2010

1. La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

2. soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3 et \(u\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(u^2\) soit un projecteur de rang égal à 1.

   1. Montrer que 0 est valeur propre de \(u\) et que \(u\) possède au plus une autre valeur propre, égale à \(+1\) ou à \(-1\).

   2. Montrer que, si \(u\) admet 1 pour valeur propre et n’est pas lui-même un projecteur, il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est \(A\).