Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8601] imt PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{1&0&-1\cr0&2&0\cr-1&0&1}\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

1. Trouver les valeurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Trouver les valeurs propres de \(g=af+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

3. À quelles conditions sur \((a,b)\) l’endomorphisme \(g\) est-il bijectif ?

[planches/ex4129] imt PC 2018 Soit \(J=\pmatrix{-1&0&1\cr1&1&1\cr0&1&2}\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ?

2. Montrer que \(J\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

3. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

4. On pose \(F:x\mapsto(-1+e^x)J+I_3\). Calculer \(F(x)F(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\).

[planches/ex5687] imt PC 2019 Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c,d,e)\in\mathbf{R}^5\) pour que la matrice \(A=\pmatrix{a&b&c\cr0&a&d\cr0&0&e}\) soit diagonalisable.

Indication : Distinguer \(a=e\) et \(a\neq e\).

[examen/ex0471] centrale PSI 2023 Soit \(A=\pmatrix{3&-1&2\cr2&0&1\cr1&-1&2}\).

1. Montrer que \(A\) a une valeur propre double \(a>0\) et une simple \(b>0\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(f\) une fonction de \(\mathbf{R}^{+*}\) dans \(\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\). Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P_f\in\mathbf{R}_2[X]\) tel que : \[P_f(a)=f(a),\quad P_f(b)=f(b),\quad P'_f(a)=f'(a).\]

3. Pour toute fonction \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^{+*},\mathbf{R})\), on pose \(f(A)=P_f(A)\). Calculer \(f(A)\) dans les cas où \(f:x\mapsto x^2\), puis \(f:x\mapsto x^3\).

4. Désormais on prend \(f:x\mapsto\displaystyle\frac{1}{x}\). Conjecturer la valeur de \(Af(A)\) et prouver cette conjecture.

[oraux/ex6020] hec E 2014

1. Question de cours : Définition de deux matrices semblables.

   Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est donnée par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right).\] On note \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\) et on pose : \(f^2=f\mathbin{\circ} f\).

2. 1. Montrer que \(2f-f^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

   2. Montrer que l’endomorphisme \(f\) est un automorphisme. Quel est l’automorphisme réciproque de \(f\) ?

   3. Montrer que \(f\) admet l’unique valeur propre \(\lambda=1\). L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

   4. déterminer le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. Quelle est sa dimension ?

3. 1. Calculer pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(A^n\) en fonction de \(n\).

   2. Le résultat précédent s’étend-t-il au cas où \(n\in\mathbf{Z}\) ?

4. Déterminer une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est la matrice \(C=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).