Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8601] imt PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{1&0&-1\cr0&2&0\cr-1&0&1}\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

1. Trouver les valeurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Trouver les valeurs propres de \(g=af+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

3. À quelles conditions sur \((a,b)\) l’endomorphisme \(g\) est-il bijectif ?

[oraux/ex6385] hec courts S 2013 Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et soit \(A\) la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On suppose que \(f\) n’est pas diagonalisable et qu’il vérifie : \((f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\mathbin{\circ}(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})=0\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) sont supplémentaires.

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\pmatrix{0&-1&0\cr1&0&0\cr0&0&1}\).

[oraux/ex4671] hec courts S 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

On admet que \(A^2+I_3=2A\) où \(I_3\) désigne la matrice identité d’ordre 3.

1. Montrer que \(A\) admet une seule valeur propre \(\lambda\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le sous-espace associé à \(\lambda\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[concours/ex9807] mines MP 2009 Soit \(M_\lambda=\left(\begin{array}{ccc}-1&-\lambda&-\lambda\\0&-1&1\\ 1&0&-1\end{array}\right)\). Déterminer les espaces propres de \(M_\lambda\) suivant \(\lambda\).

[concours/ex6647] hec B/L 2008 Soit \(J\) la matrice : \[J=\left(\begin{array}{ccc} 0&2&1\\0&-1&2\\0&1&0\end{array}\right).\]

1. Déterminer les valeurs propres de \(J\).

   La matrice \(J\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer les valeurs de \(a\in\mathbf{R}\) pour que la matrice : \[M_a=\left(\begin{array}{ccc}a^3&2&1\\0&a^3-1&2\\0&1&a^3\end{array}\right)\] soit inversible.