Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2033] mines PC 2024 Soit \(\alpha\in\mathbb{C}\). La matrice \(M=\pmatrix{1&\alpha&0\cr\alpha&0&1\cr0&1&-1}\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex9067] escp B/L 2010 On considère la matrice \(A= \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)\) et l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbf{R}^3\) qui lui est canoniquement associé.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. 1. Démontrer que les deux sous-espaces vectoriels \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-Id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\smash{(f-3Id)^2}\right)\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\).

   2. En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[T=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).\]

3. Calculer \(T^n\) pour \(n\) entier naturel non nul. En déduire \(A^n\).

4. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, donner l’expression de \((A^{-1})^n\) pour \(n \in \mathbf{N}^*\).

[examen/ex2525] ccinp PSI 2024 Pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(M_\alpha=\pmatrix{1&3&0\cr0&4&0\cr\alpha&-2\alpha&\alpha+1}\).

1. La matrice \(M_\alpha\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le rang de \(M_\alpha\).

3. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) tel que \(M_{-1}=P\Delta P^{-1}\) avec \(\Delta=\pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&4}\).

4. Montrer qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=M_{-1}\) si et seulement s’il existe \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\Delta\).

5. Soit \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\Delta\). Montrer que \(B\Delta=\Delta B\).

6. En déduire les solutions \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) de \(B^2=\Delta\).

7. En déduire les solutions \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) de \(A^2=M_{-1}\).

[planches/ex5337] centrale MP 2019 (avec Python)

Pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), soit \(M_{a,b}=\pmatrix{3a+2b&-4a-b&2a\cr2a+b&-3a-b&2a\cr b&-b&a}\).

On définit \(E=\{M_{a,b}\ ;\ (a,b)\in\mathbf{C}^2\}\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(R_n=\{M\in E\ ;\ M^n=I_3\}\).

1. Calculer \(M_{1,0}M_{0,1}\), \(M_{0,1}M_{1,0}\), \(M_{0,1}^2\) et \(M_{1,0}^2\).

2. Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\). Est-ce une sous-algèbre de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

3. Déterminer \(R_n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

4. Trouver \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{C})\) telle que \(P^{-1}M_{1,0}P\) soit diagonale et \(P^{-1}M_{1,0}P\) triangulaire supérieure.

5. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), calculer \(PM_{a,b}^nP^{-1}\) et retrouver \(R_n\).

[ev.algebre/ex2148] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}5&-1&1\\ -1&1&-3\\1&-3&1\end{array}\right)\) ; calculer \(A^n\).