Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0806] imt PC 2023 Soit \(A=\pmatrix{0&3&2\cr-2&5&2\cr2&-2&0}\). Étudier la diagonalisabilité de \(A\).

[planches/ex7390] ccinp PC 2021 Pour \(a\), \(b\) réels, on pose \(M(a,b)=\pmatrix{a&0&b\cr a&b&a\cr b&0&a}\) et \(J=M(0,1)\), \(K=M(1,0)\).

1. Déterminer les éléments propres des matrices \(J\) et \(K\).

2. Les matrices \(J\) et \(K\) ont-elles une base commune de vecteurs propres ?

[concours/ex6635] hec E 2008 Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&-1\\ -1&2&-1\\1&-1&2\end{array}\right).\]

1. 1. Trouver une relation entre \(A^2\), \(A\) et \(I\) (matrice identité d’ordre 3).

   2. En déduire que \(A\) est inversible et calculer son inverse.

2. Calculer les valeurs propres possibles de \(A\).

3. \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex7499] ccp PSI 2013 Soient \(A=\pmatrix{a&1&b\cr1&c&d\cr e&f&1}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(\mathscr{B}=\left(\pmatrix{1\cr1\cr0},\pmatrix{1\cr2\cr1},\pmatrix{1\cr-1\cr2}\right)\). Trouver \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) tels que \(\mathscr{B}\) soit une base de vecteurs propres de \(A\).

[planches/ex8196] mines PSI 2022 Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in\mathbf{R}\), \(A=\pmatrix{\alpha^2&\alpha\beta&\alpha\gamma\cr\alpha\beta&\beta^2&\beta\gamma\cr\alpha\gamma&\beta\gamma&\gamma^2}\) et \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice \(A\).

1. Montrer qu’il existe un vecteur colonne \(C\) tel que \(A=CC^T\).

2. Déterminer le noyau et l’image de \(A\).

3. Chercher les éléments propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

4. Retrouver le résultat en remarquant que \(f\) est proportionnel à un projecteur.