[concours/ex5003] escp B/L 1999 Soit \(M_a=\left(\begin{array}{ccc}a+1&1-a&a-1\\ -1&3&2a-3\\ a-2&2-a&3a-2\end{array}\right)\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\), \(a\) étant un paramètre réel.
[concours/ex5003]
On note \(f_a\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) associé à \(M_a\) relativement à la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).
Déterminer les valeurs propres de \(M_a\). La matrice \(M_a\) est-elle diagonalisable ?
[ev.algebre/ex2197] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&-4\\ -2&1&2\\ -2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?
[ev.algebre/ex2197]
Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).
[planches/ex8705] hec B/L 2022 On note \(E\) l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2. On définit les fonctions \(e_0\), \(e_1\), \(e_2\) par : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad e_0(t)=1,\quad e_1(t)=t\quad\hbox{et}\quad e_2(t)=t^2.\] On rappelle que la famille \((e_0,e_1,e_2)\) est une base de \(E\). On considère l’application \(\varphi\) qui, à toute fonction \(P\) de \(E\), associe la fonction, notée \(\varphi(P)\), définie par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\varphi(P)(x)=\int_0^1P(x+t)\,dt.\]
[planches/ex8705]
Question de cours : Critère d’inversibilité d’une matrice triangulaire.
Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\).
Écrire la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base \((e_0,e_1,e_2)\).
Justifier que \(\varphi\) est un automorphisme de \(E\).
L’endomorphisme \(\varphi\) est-il diagonalisable ?
Montrer que pour tout entier naturel \(n\), il existe un réel \(u_n\) tel que : \[A^n=\pmatrix{1&n/2&u_n\cr0&1&n\cr0&0&1}.\] Donner \(u_0\) et exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
En déduire, par sommation, l’expression de \(u_n\) pour tout entier \(n\).
[concours/ex5076] escp S 1999 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\ 1&2&1\\ 0&0&3\end{array}\right)\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) de matrice \(A\) relativement à la base canonique.
[concours/ex5076]
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\).
Montrer que les deux sous-espaces \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-3id)^2\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\). En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \(A'=\left(\begin{array}{ccc}3&1&0\\ 0&3&0\\ 0&0&1\end{array}\right)\). Calculer \(A'^n\), pour \(n\in\mathbf{N}^*\), en déduire \(A^n\).
[examen/ex0369] hec E 2023 Soit \(\alpha\) un nombre réel. On considère la matrice : \[A_\alpha=\pmatrix{-1&2-\alpha&-\alpha\cr-\alpha&1&-\alpha\cr2&\alpha-2&\alpha+1}\] et on note \(\phi_\alpha\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) représenté par \(A_\alpha\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).
[examen/ex0369]
On appelle \(f_1\) le vecteur \(\pmatrix{1\cr1\cr-1}\) et \(f_2\) le vecteur \(\pmatrix{1\cr1\cr-2}\).
Question de cours : critère de diagonalisabilité d’une matrice selon les sous-espaces propres.
Montrer que, quelque soit \(\alpha\), la matrice \(A_\alpha\) admet la valeur propre 1.
On note \(E_1(\alpha)\) le sous-espace propre de \(A_\alpha\) associé à la valeur propre 1. Déterminer, suivant les valeurs de \(\alpha\), une base de \(E_1(\alpha)\).
On note \(F=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(f_1,f_2)\).
Montrer que l’image par \(\phi_\alpha\) de tout vecteur de \(F\) appartient à \(F\).
On appelle \(\widehat{\phi_\alpha}\) l’endomorphisme de \(F\) induit par \(\phi_\alpha\), c’est-à-dire vérifiant, pour tout vecteur \(V\) de \(F\), \(\widehat{\phi_\alpha}(V)=\phi_\alpha(V)\).
Donner une matrice de \(\widehat{\phi_\alpha}\).
Montrer que pour tout réel \(\alpha\), \(\alpha-1\) est une valeur propre de \(A_\alpha\) et que l’on peut trouver un vecteur \(f_3\) de \(\mathbf{R}^3\) ne dépendant pas de \(\alpha\), qui soit, pour tout réel \(\alpha\), vecteur propre de \(A_\alpha\) associé à la valeur propre \(\alpha-1\).
Pour quelles valeurs du paramètre \(\alpha\) la matrice \(A_\alpha\) est-elle diagonalisable ?
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