Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9614] centrale PC 2006 Soit \(M(a,b,c)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) définie par : \(M(a,b,c)=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\b&a+c&b+c\\c&b&a+c\end{array}\right)\). La matrice \(M(a,b,c)\) est-elle diagonalisable ? On pourra introduire \(M(0,1,0)\).

[oraux/ex6247] hec courts E 2015 On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? inversible ?

2. On note \(I\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). Établir l’existence d’une matrice \(N\) telle que \(A=I+N\). Déterminer pour tout \(k\in\mathbf{N}\), la matrice \(A^k\).

3. On rappelle l’identité remarquable : \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\). Déterminer \(A^{-1}\).

[examen/ex4138] imt PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{1&a&b\cr0&1&c\cr0&0&-1}\).

1. Calculer le spectre de \(A\) et son polynôme caractéristique.

2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \(a\), \(b\), \(c\), pour que \(A\) soit diagonalisable.

[oraux/ex7511] ccp PSI 2013 Soit \(\varphi\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) dont la matrice dans la base canonique est \(\pmatrix{1&1&-1\cr-1&3&-3\cr-2&2&-2}\).

1. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(\varphi^2)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(\varphi-2\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).

2. Déterminer une base dans laquelle la matrice de \(\varphi\) est \(\pmatrix{0&1&0\cr0&0&0\cr0&0&2}\).

3. Soit \(g\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) tel que \(g^2=\varphi\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(\varphi^2)\) est stable par \(g\). En déduire qu’un tel \(g\) n’existe pas.

[planches/ex7494] escp B/L 2022 Soit \(E=\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique \(B=\pmatrix{e_1,e_2,e_3}\).
Soit \(A=\pmatrix{6&-6&5\cr-4&-1&10\cr7&-6&4}\). On considère l’endomorphisme \(u\) de \(E\), qui a pour matrice \(A\) dans la base \(B\).

Dans la suite, on confond \(\mathbb{R}^3\) et l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) des matrices colonnes à 3 lignes. On dit qu’un sous-espace \(F\) de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) est stable par \(A\), si pour tout \(X\in F, AX\in F\).

1. 1. Vérifier que \(-1\) et \(5\) sont valeurs propres de \(u\) et déterminer les sous-espaces propres associés \(E_{-1}\) et \(E_5\).
      On admet désormais que ces deux valeurs sont les seules valeurs propres de \(u\).

   2. Les sous-espaces \(E_{-1}\) et \(E_5\) sont-ils stables par \(A\) ?

   3. L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?

2. Déterminer tous les sous-espaces de \(E\) de dimension \(1\) qui sont stables par \(A\).

3. Soit \(P\) un sous-espace de dimension \(2\) stable par \(A\).

   1. Déterminer \(P\) si on suppose en plus que \(P\) contient \(E_5\).

   2. Vérifier qu’une solution est \(P_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-5Id)^2\).

4. Soit \(P\) un sous-espace de dimension \(2\) stable par \(A\). Que dire de \(P \cap P_1\) ?

5. En déduire tous les sous-espaces vectoriels stables par \(A\).