Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex2299] mines M 1995 Soit \(A=\pmatrix{0&1&1\cr-2&3&2\cr1&-1&0}\). Calculer \(A^n\).

[concours/ex2932] ccp M 1994 La matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 2&0&-2\\3&-3&0\\8&-6&2\end{array}\right)\) est-elle trigonalisable ?

[oraux/ex7783] mines PC 2016 Soit \(M(\alpha)=\pmatrix{0&0&\alpha\cr1&0&1\cr0&1&0}\) pour \(\alpha\in\mathbf{C}\). Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \(M(\alpha)\) possède une valeur propre de module 1.

[planches/ex5177] mines PC 2019 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à la matrice \(A=\pmatrix{1&0&1\cr-1&2&1\cr1&-1&1}\).

1. Montrer que \(f\) est trigonalisable dans \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que l’espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1 et contient le vecteur \(u={}^t(1,1,0)\).

3. On pose \(v={}^t(0,0,1)\). Calculer \((f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})(v)\).

4. Déterminer un vecteur propre \(w\in\mathbf{R}^3\) de l’endomorphisme \(f\) associé à la valeur propre 2 et montrer que la famille \((u,v,w)\) est une base de \(\mathbf{R}^3\).

5. Calculer, pour \(k\in\mathbf{N}\), \(f_k(v)\) et en déduire \(T^k\) où \(T\) désigne la matrice de \(f\) dans la base \((u,v,w)\).

6. Calculer \(A^k\) pour \(k\in\mathbf{N}\).

[examen/ex1894] mines PSI 2024 Soit \(A=\pmatrix{-1&1&1\cr0&5&-14\cr0&-3&-8}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer qu’il existe un unique \((\alpha_n,\beta_n,\gamma_n)\in\mathbf{R}^3\) et un unique \(Q_n\in\mathbf{R}[X]\) tels que \(X^n=(X+1)^2(X+2)Q_n(X)+\alpha_n(X+2)+\beta_n (X+1)(X+2)+\gamma_n(X+1)^2\).

3. Déterminer \(A^n\).