Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7499] ccp PSI 2013 Soient \(A=\pmatrix{a&1&b\cr1&c&d\cr e&f&1}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(\mathscr{B}=\left(\pmatrix{1\cr1\cr0},\pmatrix{1\cr2\cr1},\pmatrix{1\cr-1\cr2}\right)\). Trouver \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) tels que \(\mathscr{B}\) soit une base de vecteurs propres de \(A\).

[planches/ex4125] imt PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&a&1\cr a&0&1\cr a&1&0}\) avec \(a\in\mathbf{R}\).

1. Donner le rang de \(A\).

2. Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex7626] mines alès PC 2014 Soit \((u_n)_{n\geqslant 0}\) définie par : \((u_0,u_1,u_2)\in\mathbf{R}^3\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+3}=6u_{n+2}+11u_{n+1}+6u_n\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(X_n={}^t(u_n,u_{n+1},u_{n+2})\). Trouver une matrice \(A\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(X_{n+1}=AX_n\). Diagonaliser \(A\) puis donner l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) et des conditions initiales.

[oraux/ex8600] imt PSI 2016 Soient \(a\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{1&-1&a\cr0&2&0\cr0&0&a}\). Déterminer le rang de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Pour \(a=1\), calculer \(A^n\).

[concours/ex1575] ccp, tpe, int, ivp MP 1998 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc} 3&5&-1\\0&1&-3\\0&-1&3\end{array}\right)\). Montrer que toute matrice dont le carré est \(A\) est diagonalisable et trouver ces matrices.