[oraux/ex0013] centrale PC 2010 Montrer que \(M=\left(\begin{array}{ccc}6&-6&5\\14&-13&10\\ 7&-6&4\end{array}\right)\) et \(N=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\1&-1&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)\) sont semblables.
[oraux/ex0013]
[examen/ex0369] hec E 2023 Soit \(\alpha\) un nombre réel. On considère la matrice : \[A_\alpha=\pmatrix{-1&2-\alpha&-\alpha\cr-\alpha&1&-\alpha\cr2&\alpha-2&\alpha+1}\] et on note \(\phi_\alpha\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) représenté par \(A_\alpha\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).
[examen/ex0369]
On appelle \(f_1\) le vecteur \(\pmatrix{1\cr1\cr-1}\) et \(f_2\) le vecteur \(\pmatrix{1\cr1\cr-2}\).
Question de cours : critère de diagonalisabilité d’une matrice selon les sous-espaces propres.
Montrer que, quelque soit \(\alpha\), la matrice \(A_\alpha\) admet la valeur propre 1.
On note \(E_1(\alpha)\) le sous-espace propre de \(A_\alpha\) associé à la valeur propre 1. Déterminer, suivant les valeurs de \(\alpha\), une base de \(E_1(\alpha)\).
On note \(F=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(f_1,f_2)\).
Montrer que l’image par \(\phi_\alpha\) de tout vecteur de \(F\) appartient à \(F\).
On appelle \(\widehat{\phi_\alpha}\) l’endomorphisme de \(F\) induit par \(\phi_\alpha\), c’est-à-dire vérifiant, pour tout vecteur \(V\) de \(F\), \(\widehat{\phi_\alpha}(V)=\phi_\alpha(V)\).
Donner une matrice de \(\widehat{\phi_\alpha}\).
Montrer que pour tout réel \(\alpha\), \(\alpha-1\) est une valeur propre de \(A_\alpha\) et que l’on peut trouver un vecteur \(f_3\) de \(\mathbf{R}^3\) ne dépendant pas de \(\alpha\), qui soit, pour tout réel \(\alpha\), vecteur propre de \(A_\alpha\) associé à la valeur propre \(\alpha-1\).
Pour quelles valeurs du paramètre \(\alpha\) la matrice \(A_\alpha\) est-elle diagonalisable ?
[concours/ex4359] hec E 2006 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique s’écrit : \(A=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right)\).
[concours/ex4359]
Définition et propriétés des matrices de passage.
Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\).
Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f\).
Donner les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).
\(f\) est-il diagonalisable ?
Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).
On note \(I\) la matrice identité dans la base canonique. Déterminer les réels \(a\) tels que l’on ait \((A-aI)^2=I\).
[concours/ex6668] escp S 2008 Soit \(a\) un réel non nul. Soit \(A\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a\cr a & a & a\cr a & 0 & 0 \end{array}\right)\]
[concours/ex6668]
Déterminer les éléments propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
On considère l’équation d’inconnue \(X\), \((\star)\) : \(X^n=A\), où \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(X\) un élément de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).
Soit \(X\) une solution éventuelle de \((\star)\).
Montrer que \(XA=AX\).
En déduire que tout vecteur propre de \(A\) est vecteur propre de \(X\).
Montrer que \((\star)\) n’a pas de solution lorsque \(n\) est un entier pair.
Soit \(n\) un entier impair et \((e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).
Montrer que \({\cal B}=(e_1, e_2, e_1-e_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
Soit \(X\) une solution de \((\star)\) et \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) canoniquement associé à \(X\). Montrer qu’il existe \((\alpha, \beta, \gamma)\) tels que la matrice associée à \(u\) relativement à la base \({\cal B}\), soit : \[\left(\begin{array}{ccc} \alpha & 0 & 0 \cr \gamma & \alpha & 0\cr {\beta-\alpha\over 2} & 0 & \beta \end{array}\right)\]
Résoudre l’équation \((\star)\) lorsque \(n\) est un entier impair.
[examen/ex2185] mines PC 2024 Soit \(a\) un réel. On pose \(g:t\mapsto\displaystyle\frac{a\,e^t}{2-t}\).
[examen/ex2185]
Montrer qu’il existe une unique valeur de \(a\) pour laquelle il existe une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) soit la fonction génératrice.
On suppose maintenant que \(a\) est égal à cette valeur et que \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) est la fonction génératrice.
Trouver la probabilité que \(X\) soit pair.
Quelle est la probabilité que la matrice \(\pmatrix{X&X&0\cr-X&-X&0\cr X&X&0}\) soit diagonalisable ?
Vous pouvez produire plusieurs PDF en répartissant les exercices choisis