Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex2185] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&-2&-2\\ -1&1&-1\\ -1&0&2 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[ev.algebre/ex2181] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 3&4&-1\\ -1&1&1\\0&3&2 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[planches/ex5584] imt PSI 2019 Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(M^2=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\).

[concours/ex1559] ccp, tpe, int, ivp MP 1998 Étude des suites \(u\), \(v\) et \(w\) telles que : \[\left\{\begin{array}{rcl} u_{n+1} &=& \vphantom{\Big|_|^|}\displaystyle{1\over4}(2u_n+v_n+w_n)\\ v_{n+1} &=& \vphantom{\Big|_|^|}\displaystyle{1\over3}(u_n+v_n+w_n)\\ w_{n+1} &=& \vphantom{\Big|_|^|}\displaystyle{1\over4}(u_n+v_n+2w_n) \end{array}\right.\]

[oraux/ex4671] hec courts S 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

On admet que \(A^2+I_3=2A\) où \(I_3\) désigne la matrice identité d’ordre 3.

1. Montrer que \(A\) admet une seule valeur propre \(\lambda\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le sous-espace associé à \(\lambda\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).