Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5784] ccp MP 2012 Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc}1&-1&1\\ -1&1&-1\\1&-1&1\end{array}\right)\). Montrer que \(A\) est diagonalisable :

1. sans calcul ;

2. en calculant \(\chi_A\) ;

3. par le théorème du rang ;

4. en calculant \(A^2\).

[ev.algebre/ex2185] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&-2&-2\\ -1&1&-1\\ -1&0&2 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[ev.algebre/ex2200] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[examen/ex4031] imt MP 2025 Pour tout \(c\in\mathbf{R}\), on considère la matrice \(A(c)=\pmatrix{-c&1&-1\cr1&1-c&1\cr-1&-1&-c}\).

1. La matrice \(A(c)\) est-elle diagonalisable ?

2. Trouver \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) telle que la matrice \(P^{-1}A(c)P\) soit triangulaire supérieure.

[concours/ex5003] escp B/L 1999 Soit \(M_a=\left(\begin{array}{ccc}a+1&1-a&a-1\\ -1&3&2a-3\\ a-2&2-a&3a-2\end{array}\right)\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\), \(a\) étant un paramètre réel.

On note \(f_a\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) associé à \(M_a\) relativement à la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

Déterminer les valeurs propres de \(M_a\). La matrice \(M_a\) est-elle diagonalisable ?