Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2297] mines PC 2017

1. Soit \(A=\pmatrix{-4&-6&0\cr3&-5&0\cr3&6&-5}\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

2. Soient \((u_n)_{n\geqslant 0}\), \((v_n)_{n\geqslant 0}\), \((w_n)_{n\geqslant 0}\) trois suites vérifiant, pour tout \(n\) dans \(\mathbf{N}\), \[u_{n+1}=-4u_n-6v_n,\quad v_{n+1}=3u_n-5v_n,\quad w_{n+1}=3u_n+6v_n-5w_n.\] Exprimer \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\) et \(n\).

[ev.algebre/ex2200] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[planches/ex1411] hec courts E 2017 On considère les sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(\mathbf{R}^3\) définis par : \[\cases{F=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits\{(1,1,1)\}\cr G=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits\{(1,-1,0),(0,2,1)\}.}\]

1. Trouver un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont l’image est \(F\) et le noyau \(G\).

2. Peut-on le choisir diagonalisable ?

[ev.algebre/ex2201] Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et \(A\) sa matrice représentative dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3\end{array}\right).\] Déterminer trois vecteurs \((e_1,e_2,e_3)\) formant une base de \(\mathbf{R}^3\) tels que : \[\left\{\begin{array}{rcl} f(e_1)&=&e_1\\f(e_2)&=&-e_2\\f(e_3)&=&e_1-e_2+e_3.\end{array}\right.\] En déduire une matrice triangulaire semblable à \(A\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex5175] mines PC 2019 Soit \(A=\pmatrix{-4&-6&0\cr3&5&0\cr3&6&5}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Diagonaliser \(A\). En déduire une expression de \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

   Soient \((u_n)_{n\geqslant 0}\), \((v_n)_{n\geqslant 0}\), \((w_n)_{n\geqslant 0}\) trois suites réelles telles que : \[\forall n\in\mathbf{N},\quad u_{n+1}=-4u_n+6v_n,\quad v_{n+1}=3u_n+5v_n,\quad w_{n+1}=3u_n+6v_n+5w_n.\] On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(X_n={}^t(u_n\ v_n\ w_n)\).

2. Exprimer \(X_{n+1}\) en fonction de \(A\) et de \(X_0\).

3. En déduire une expression de \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) en fonction de \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\).