Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex2186] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[ev.algebre/ex2182] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-2&-2\\ -1&1&-1\\ -1&0&2 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[ev.algebre/ex2200] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[planches/ex5588] tpe PSI 2019 Soit \(M=\pmatrix{0&-a&-b\cr a&0&-c\cr b&c&0}\) où \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}\).

1. Déterminer un polynôme annulateur de degré 3 de \(M\).

2. La matrice \(M\) est-elle inversible ?

3. Est-elle diagonalisable ?

4. Montrer que les valeurs propres de \(M^2\) sont négatives ou nulles.

[planches/ex2297] mines PC 2017

1. Soit \(A=\pmatrix{-4&-6&0\cr3&-5&0\cr3&6&-5}\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

2. Soient \((u_n)_{n\geqslant 0}\), \((v_n)_{n\geqslant 0}\), \((w_n)_{n\geqslant 0}\) trois suites vérifiant, pour tout \(n\) dans \(\mathbf{N}\), \[u_{n+1}=-4u_n-6v_n,\quad v_{n+1}=3u_n-5v_n,\quad w_{n+1}=3u_n+6v_n-5w_n.\] Exprimer \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\) et \(n\).