Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7669] mines PC 2015 À quelle condition sur \(\alpha\in\mathbf{C}\) la matrice \(M=\pmatrix{0&1&\alpha\cr1&0&0\cr0&1&0}\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex7602] centrale PSI 2014 Soit \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et possède une unique valeur propre réelle \(a>1\).

2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)}\lambda^n\) est un entier.

3. Déterminer la nature de la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\pi a^n)\).

[ev.algebre/ex2184] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 3&4&-1\\ -1&1&1\\0&3&2 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[concours/ex9530] mines PC 2005 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) pour que : \[\left(\begin{array}{ccc}a-b-c&2a&2a\\2b&b-a-c&2b\\2c&2c&c-a-b \end{array}\right)\] soit diagonalisable sur \(\mathbf{R}\).

[oraux/ex6127] hec courts S 2013 Soit \(x\in\mathbf{R}\) et \(M_x\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \[M=\left(\begin{array}{ccc} 1&x&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0\end{array}\right).\]

1. Pour quelles valeurs de \(x\) la matrice \(M_x\) est-elle diagonalisable ?

2. Dans le cas ou elle n’est pas diagonalisable, montrer que \(M_x\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).