[oraux/ex7602] centrale PSI 2014 Soit \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&1\cr0&1&0}\).
[oraux/ex7602]
Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et possède une unique valeur propre réelle \(a>1\).
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)}\lambda^n\) est un entier.
Déterminer la nature de la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\pi a^n)\).
[planches/ex5584] imt PSI 2019 Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(M^2=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\).
[planches/ex5584]
[planches/ex3729] mines PC 2018 Déterminer les \(\alpha\in\mathbf{C}\) pour lesquels \(\pmatrix{0&1&\alpha\cr1&0&0\cr0&1&0}\) est diagonalisable.
[planches/ex3729]
[oraux/ex4646] escp courts 2011 Soient trois nombres complexes \(a\), \(b\), \(c\). Calculer la matrice \(A^{7}\), avec : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1+i\sqrt3 &a&b\cr 0&1-i\sqrt 3&c\cr 0&0& 2\end{array}\right).\]
[oraux/ex4646]
[concours/ex4807] escp S 2002 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) défini par : \[f(x,y,z)=(x,0,y).\]
[concours/ex4807]
Déterminer le noyau et l’image de \(f\).
Soit \(E=\{(x,y,0)\mid (x,y)\in \mathbf{R}^2\}\). Déterminer \(f(E)\) et \(f^{-1}(E)\).
L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?
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