Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7438] polytechnique 2003

1. Que dire des valeurs propres de la matrice \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

2. On appelle \(a\) la valeur propre réelle de \(M\), \(b\) et \(c\) ses deux valeurs propres complexes conjuguées. Calculer \(U_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^n)\).

3. Soit \(k\) un réel. Comparer les séries de termes généraux \(V_n\) et \(W_n\) définies par : \(nV_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(kU_n)\) et \(nW_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(ka^n)\).

4. Montrer que \(U_n\) vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

5. Étudier la nature des séries de termes généraux \(V_n\) et \(W_n\) lorsque \(k=\pi\), \(k=\pi/2\) et \(k=\pi/4\).

[oraux/ex7582] mines PC 2014 Soit \(z\in\mathbf{C}\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(z\) pour que la matrice \(\pmatrix{0&z&z\cr1&0&z\cr1&1&0}\) soit diagonalisable.

[concours/ex1689] polytechnique MP 1999 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

1. Quelles sont les valeurs propres de \(M\) ?

2. On pose \(u_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M^n\) pour tout \(n\). Exprimer \(u_n\) à l’aide des valeurs propres de \(M\). Définir \(u_n\) par une relation de récurrence linéaire.

3. Soit un entier \(q\geqslant 2\). Étudier la suite \((u_n)\) modulo \(q\). On commencera par \(q=4\) puis \(q=5\).

4. Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{2\pi\over q}u_n\right)\) ?

5. Soit \(\alpha\) la valeur propre réelle de \(M\). Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{2\pi\over q}\alpha^n\right)\) ?

[oraux/ex6234] hec courts S 2015 Soit \(x\in\mathbf{R}\) et soit la matrice \(M_x=\left(\begin{array}{ccc}1&x&0\\0&0&1\\0&1&0\end{array}\right)\).

1. Pour quelles valeurs de \(x\) la matrice \(M_x\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que lorsqu’elle n’est pas diagonalisable, \(M_x\) est semblable à la matrice \(B=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[ev.algebre/ex2186] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.