Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2429] imt MP 2024 Soient \(x\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{x&1&0\cr1&0&-1\cr0&-1&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse.

[concours/ex9457] mines 2004 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\). Éléments propres ? diagonalisabilité ? Calcul de \(A^n\).

[planches/ex4129] imt PC 2018 Soit \(J=\pmatrix{-1&0&1\cr1&1&1\cr0&1&2}\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ?

2. Montrer que \(J\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

3. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

4. On pose \(F:x\mapsto(-1+e^x)J+I_3\). Calculer \(F(x)F(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\).

[concours/ex9456] mines 2004 Diagonaliser \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

[ev.algebre/ex2148] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}5&-1&1\\ -1&1&-3\\1&-3&1\end{array}\right)\) ; calculer \(A^n\).

[planches/ex3728] mines PC 2018 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(\pmatrix{1&2&0\cr2&1&0\cr0&1&0}\).

1. Soit \(a={}^t(1,-1,1)\). Calculer \(f(a)\).

2. Déterminer les éléments propres de \(f\).

3. Déterminer les \(g\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) tels que \(f^3=g^3\).

[oraux/ex6020] hec E 2014

1. Question de cours : Définition de deux matrices semblables.

   Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est donnée par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right).\] On note \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\) et on pose : \(f^2=f\mathbin{\circ} f\).

2. 1. Montrer que \(2f-f^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

   2. Montrer que l’endomorphisme \(f\) est un automorphisme. Quel est l’automorphisme réciproque de \(f\) ?

   3. Montrer que \(f\) admet l’unique valeur propre \(\lambda=1\). L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

   4. déterminer le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. Quelle est sa dimension ?

3. 1. Calculer pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(A^n\) en fonction de \(n\).

   2. Le résultat précédent s’étend-t-il au cas où \(n\in\mathbf{Z}\) ?

4. Déterminer une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est la matrice \(C=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[examen/ex0993] hec S 2024 On considère la matrice : \[A=\pmatrix{-4&-3&-3\cr0&2&0\cr6&3&5}.\] On note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) représenté dans la base canonique par la matrice \(A\).

1. Question de cours : caractérisation des endomorphismes diagonalisables à l’aide des dimensions des sous-espaces propres.

2. 1. Écrire une fonction Python prenant en argument deux vecteurs de taille 3 et renvoyant un booléen (True ou False) indiquant s’ils sont colinéaires. On pourra représenter les vecteurs par des types array.

   2. Écrire une fonction Python prenant en argument un vecteur de taille 3 et renvoyant un booléen indiquant s’il est vecteur propre de \(A\).

3. 1. Vérifier que les vecteurs \((-1,2,0)\), \((0,1,-1)\) et \((1,0,-1)\) sont des vecteurs propres de \(f\).

   2. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

4. 1. Écrire un programme Python permettant de déterminer le nombre de vecteurs propres de \(A\) dont les coefficients sont des entiers compris entre \(-10\) et 10 (bornes incluses).

   2. Pour \(N\) un entier naturel non nul, calculer le nombre de vecteurs propres de \(A\) dont les coefficients sont des entiers compris entre \(-N\) et \(N\) (bornes incluses).

5. Soit \(N\) un entier naturel non nul. Une expérience consiste à choisir au hasard de manière indépendante \(N\) vecteurs à coefficients entiers dans \([[-N,N]]^3\).

   1. Quelle est la probabilité \(p_N\) d’obtenir au moins un vecteur propre de \(A\) parmi ces \(N\) vecteurs ?

   2. Quelle est la limite de \(p_N\) lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\) ?

[examen/ex4138] imt PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{1&a&b\cr0&1&c\cr0&0&-1}\).

1. Calculer le spectre de \(A\) et son polynôme caractéristique.

2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \(a\), \(b\), \(c\), pour que \(A\) soit diagonalisable.

[oraux/ex6385] hec courts S 2013 Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et soit \(A\) la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On suppose que \(f\) n’est pas diagonalisable et qu’il vérifie : \((f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\mathbin{\circ}(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})=0\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) sont supplémentaires.

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\pmatrix{0&-1&0\cr1&0&0\cr0&0&1}\).

[concours/ex4359] hec E 2006 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique s’écrit : \(A=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right)\).

1. Définition et propriétés des matrices de passage.

2. Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\).

3. Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f\).

4. Donner les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).

5. \(f\) est-il diagonalisable ?

6. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

7. On note \(I\) la matrice identité dans la base canonique. Déterminer les réels \(a\) tels que l’on ait \((A-aI)^2=I\).

[oraux/ex5807] tpe PSI 2012 Discuter de la diagonalisabilité et de la trigonalisabilité en fonction du paramètre réel \(a\) de \(\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&-a&a\end{array} \right)\).

[concours/ex9932] polytechnique, espci PC 2010 Soit, pour \(t\in\mathbf{R}\) : \(M(t)=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&t-2\\ 0&2&2-t\\1&1&t\end{array}\right)\). Pour quelles valeurs de \(t\) la matrice \(M(t)\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex9807] mines MP 2009 Soit \(M_\lambda=\left(\begin{array}{ccc}-1&-\lambda&-\lambda\\0&-1&1\\ 1&0&-1\end{array}\right)\). Déterminer les espaces propres de \(M_\lambda\) suivant \(\lambda\).

[oraux/ex4671] hec courts S 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

On admet que \(A^2+I_3=2A\) où \(I_3\) désigne la matrice identité d’ordre 3.

1. Montrer que \(A\) admet une seule valeur propre \(\lambda\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le sous-espace associé à \(\lambda\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[oraux/ex7499] ccp PSI 2013 Soient \(A=\pmatrix{a&1&b\cr1&c&d\cr e&f&1}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(\mathscr{B}=\left(\pmatrix{1\cr1\cr0},\pmatrix{1\cr2\cr1},\pmatrix{1\cr-1\cr2}\right)\). Trouver \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) tels que \(\mathscr{B}\) soit une base de vecteurs propres de \(A\).

[concours/ex2932] ccp M 1994 La matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 2&0&-2\\3&-3&0\\8&-6&2\end{array}\right)\) est-elle trigonalisable ?

[planches/ex4125] imt PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&a&1\cr a&0&1\cr a&1&0}\) avec \(a\in\mathbf{R}\).

1. Donner le rang de \(A\).

2. Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex7942] mines MP 2022 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(AB=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\). Montrer que \(BA\) est diagonalisable.

[planches/ex2311] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{2&0&1\cr1&1&0\cr-1&1&3}\). Réduire la matrice \(A\).