Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2707] ccp PSI 2017 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\), \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\) et \(M=\pmatrix{a+b&c&b\cr c&a+2b&c\cr b&c&a+b}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) en fonction des puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\). En déduire, pour \(k\in\mathbf{N}\), la valeur de \(M^k\).

[concours/ex4436] escp S 2006 On note \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On note \({\cal F}\) l’ensemble des éléments \(M\) de \(E\) tels que si \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\), alors \(m_{1,2}=m_{1,3}=m_{2,1}=0\).

1. Montrer que \({\cal F}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et donner sa dimension.

2. Soit \(A\in E\) de rang égal à \(1\). On note \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

   1. On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u=\{0\}\). Montrer que \(A\) est semblable à un élément de \({\cal F}\).

   2. On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\neq \{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u \subset \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\). En déduire que \(A\) est encore semblable à un élément de \({\cal F}\).

3. On suppose que \(A\in E\) est de rang \(2\). On note \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

   1. On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u=\{0\}\). Montrer que \(A\) est semblable à un élément de \({\cal F}\).

   2. On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\neq \{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u \subset \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\). Soit alors \(x\) un vecteur non nul de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\) et \(y\) tel que \(x=u(y)\). En utilisant ces deux vecteurs, montrer que \(A\) est encore semblable à un élément de \({\cal F}\).

4. Soit \(A\in E\) admettant une valeur propre réelle. Montrer que \(A\) est semblable à un élément de \({\cal F}\).

[concours/ex6801] escp B/L 2009 Soit \(A\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \(A= \left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 &-1 \\ -1 &-1 &3\end{array}\right)\).

On admet que \(\lambda\) est valeur propre de \(A\) si et seulement si \(\lambda^3-3\lambda^2-4\lambda +8=0\).

1. Montrer que \(A\) admet trois valeurs propres \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) telles que : \[\lambda_1 <1<\lambda_2 <2< \lambda_3.\] La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) à valeurs réelles par \(f(x)= \displaystyle{1\over 6}( x^3-3x^2+2x+8)\).

   1. Montrer que \(f(\lambda_2)=\lambda_2\).

   2. Montrer que \(f([1,2])\subset [1,2]\).

   3. Montrer que pour tout \(\lambda\) de \([1,2]\), on a : \(|f(\lambda)-f(\lambda_2)|\leqslant\displaystyle{1\over3}|\lambda-\lambda_2|\).

3. Soit \((x_n)_{n\ge 0}\) la suite définie par \(x_0\in [1,2]\) et pour tout \(n\geqslant 0\) : \(x_{n+1}=f(x_n)\). Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n\).

[examen/ex0471] centrale PSI 2023 Soit \(A=\pmatrix{3&-1&2\cr2&0&1\cr1&-1&2}\).

1. Montrer que \(A\) a une valeur propre double \(a>0\) et une simple \(b>0\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(f\) une fonction de \(\mathbf{R}^{+*}\) dans \(\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\). Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P_f\in\mathbf{R}_2[X]\) tel que : \[P_f(a)=f(a),\quad P_f(b)=f(b),\quad P'_f(a)=f'(a).\]

3. Pour toute fonction \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^{+*},\mathbf{R})\), on pose \(f(A)=P_f(A)\). Calculer \(f(A)\) dans les cas où \(f:x\mapsto x^2\), puis \(f:x\mapsto x^3\).

4. Désormais on prend \(f:x\mapsto\displaystyle\frac{1}{x}\). Conjecturer la valeur de \(Af(A)\) et prouver cette conjecture.

[planches/ex7942] mines MP 2022 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(AB=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\). Montrer que \(BA\) est diagonalisable.

[oraux/ex7511] ccp PSI 2013 Soit \(\varphi\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) dont la matrice dans la base canonique est \(\pmatrix{1&1&-1\cr-1&3&-3\cr-2&2&-2}\).

1. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(\varphi^2)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(\varphi-2\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).

2. Déterminer une base dans laquelle la matrice de \(\varphi\) est \(\pmatrix{0&1&0\cr0&0&0\cr0&0&2}\).

3. Soit \(g\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) tel que \(g^2=\varphi\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(\varphi^2)\) est stable par \(g\). En déduire qu’un tel \(g\) n’existe pas.

[ev.algebre/ex2298] Vrai ou faux ?

La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&3\\0&0&2\end{array}\right)\) est diagonalisable.

[planches/ex3909] centrale PSI 2018

1. Diagonaliser \(A=\pmatrix{0&-1&0\cr-2&2&-1\cr0&-1&0}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) sans calculer le polynôme caractéristique.

2. Soit \(A=\pmatrix{\lambda&-a&0\cr-\alpha&\mu&-b\cr0&-\beta&\nu}\) avec \(a\alpha>0\) et \(b\beta>0\). Montrer que ses valeurs propres sont réelles et que \(A\) est diagonalisable.

[examen/ex0594] imt MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}^{+*}\) et \(M=\pmatrix{1&\frac ba&\frac ca\cr\frac ab&1&\frac cb\cr\frac ac&\frac bc&1}\). Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de \(M\).

[concours/ex0914] centrale MP 1997 Condition nécessaire et suffisante pour que \(\left(\begin{array}{ccc} 1&a&b\\1&a'&b'\\1&a''&b''\end{array}\right)\) soit diagonalisable.

[oraux/ex8655] imt PC 2016 Soit \(P=(X-1)^2\) et \(A=\pmatrix{1&0&0\cr0&-2&9\cr0&-1&4}\).

1. Déterminer les valeurs propres (complexes) de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer \(P(A)\). En déduire \(A^{-1}\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(T=\pmatrix{1&0&0\cr0&1&1\cr0&0&1}\).

[examen/ex1894] mines PSI 2024 Soit \(A=\pmatrix{-1&1&1\cr0&5&-14\cr0&-3&-8}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer qu’il existe un unique \((\alpha_n,\beta_n,\gamma_n)\in\mathbf{R}^3\) et un unique \(Q_n\in\mathbf{R}[X]\) tels que \(X^n=(X+1)^2(X+2)Q_n(X)+\alpha_n(X+2)+\beta_n (X+1)(X+2)+\gamma_n(X+1)^2\).

3. Déterminer \(A^n\).

[oraux/ex8593] ccp PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{1&0&2\cr1&1&1\cr-1&0&-2}\).

1. Diagonaliser \(A\) (donner \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) et \(D\) diagonale telles que \(A=PDP^{-1}\)).

2. Soit \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\). La matrice \(\alpha A+\beta I_3\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex5076] escp S 1999 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\ 1&2&1\\ 0&0&3\end{array}\right)\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) de matrice \(A\) relativement à la base canonique.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\).

2. Montrer que les deux sous-espaces \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-3id)^2\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\). En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \(A'=\left(\begin{array}{ccc}3&1&0\\ 0&3&0\\ 0&0&1\end{array}\right)\). Calculer \(A'^n\), pour \(n\in\mathbf{N}^*\), en déduire \(A^n\).

[oraux/ex7783] mines PC 2016 Soit \(M(\alpha)=\pmatrix{0&0&\alpha\cr1&0&1\cr0&1&0}\) pour \(\alpha\in\mathbf{C}\). Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \(M(\alpha)\) possède une valeur propre de module 1.

[concours/ex5070] escp S 1999 On note \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\) l’espace vectoriel réel des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On considère la matrice \(A\) définie par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & -1 \\1 & 0 & -1 \\1 & 1 & 0 \end{array}\right).\]

1. Déterminer la matrice \(B=A^2+2I\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(B^2=B+2I\).

3. Déterminer les valeurs propres de \(B\). En déduire les sous-espaces propres associés.

4. Vérifier que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^2+2\) est une valeur propre de \(B\). En déduire que \(A\) n’est pas diagonalisable dans \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\).

5. Montrer que \(B\) est inversible et exprimer \(B^{-1}\) en fonction des matrices \(B\) et \(I\).

6. On s’intéresse maintenant aux puissances de \(B\).

   1. On pose, pour tout \(n\geqslant 2\), \(X^n=(X^2-X-2)Q_n(X)+R_n(X)\) où \(Q_n\) et \(R_n\) sont deux polynômes tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(R_n)<2\).

      On note \(R_n(X)=a_nX+b_n\). Déterminer le couple \((a_n,b_n)\).

   2. En déduire l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), \(B\) et \(n\), pour \(n\geqslant 0\).

   3. Montrer que l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), de \(B\) et de \(n\), qui a été obtenue pour \(n\geqslant 0\), est encore valable pour les entiers négatifs.

[oraux/ex6402] hec E 2013

1. Question de cours : condition suffisante de diagonalisabilité d’une matrice.

   Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \(A=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr-2&1&2}\).

2. 1. Soit \(\lambda\in\mathbf{R}\). Montrer que le système \(AX=\lambda X\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\) possède des solutions non nulles si et seulement si \((\lambda^2-1)(\lambda-2)=0\). Donner alors les solutions de ce système.

   2. En déduire une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(A=PDP^{-1}\).

3. Soit \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\) une suite réelle définie par : pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(x_{n+3}=2x_{n+2}+x_{n+1}-2x_n\).

   On pose pour tout \(n\in\mathbf{N}\) : \(X_n=\pmatrix{x_n\cr x_{n+1}\cr x_{n+2}}\) et \(Y_n=P^{-1}X_n\).

   1. Quelle relation a-t-on entre \(X_{n+1}\), \(X_n\) et \(A\) ?

   2. En déduire l’expression de \(Y_n\) en fonction de \(n\), \(D\) et \(Y_0\).

   3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(x_0\), \(x_1\) et \(x_2\) pour que la suite \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\) soit convergente (respectivement, pour que la série \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 0}x_n\) soit convergente).

4. On pose \(B=\pmatrix{5&0&-2\cr4&3&-4\cr8&0&-5}\) et pour tout \((a,b)\in\mathbf{R}^2\), \(M(a,b)=\pmatrix{5b&a&2b\cr4b&3b&a-4b\cr-2a+8b&a&2a-5b}\).

   1. Montrer que tout vecteur propre de \(A\) est vecteur propre de \(B\). La réciproque est-elle vraie ?

   2. En déduire que \(M(a,b)\) est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.

   3. Déterminer les couples \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) pour lesquels la suite \(\left(\vphantom{|_|}\smash{M(a,b)^n}\right)_{n\in\mathbf{N}}\) converge vers la matrice nulle, c’est-à-dire que chacun de ses neuf coefficients est le terme général d’une suite tendant vers 0.

[planches/ex4130] ccp PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&5/4&2\cr2&0&-2\cr0&3/4&2}\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. En déduire l’ensemble \(\{M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R}),\ AM=MA\}\).

[planches/ex2708] ccp PSI 2017

1. Déterminer le spectre de la matrice \(A=\pmatrix{6&-4&-3\cr4&-2&-3\cr3&-3&-1}\).

2. Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.

3. Expliciter une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) telle que \(u\) et \(v\) soient des vecteurs propres de \(A\).

4. La matrice \(A\) est-elle trigonalisable ?

[oraux/ex0037] ccp PC 2010 Déterminer pour quels \(z\in\mathbf{C}\) la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&z\\1&0&0\\1&0&0\end{array}\right)\) est diagonalisable.