Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2451] centrale MP 2017 (avec Python)

Soit, pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), \(M_{a,b}\) la matrice \(M_{a,b}=\pmatrix{3a+b&-4a-b&2a\cr2a+b&-3a-b&2a\cr b&-b&a}\). On pose \[F=\{M_{a,b},\ (a,b)\in\mathbf{C}^2\}\] et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(R_n=\{(a,b)\in\mathbf{C}^2,\ (M_{a,b})^n=I_3\}\).

1. Programmer la fonction \(m(a,b)\) qui renvoie la matrice \(M_{a,b}\).

2. Calculer les produits \(M_{0,1}M_{1,0}\), \(M_{1,0}M_{0,1}\), \(M_{0,1}^2\), \(M_{1,0}^2\).

3. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel. Est-ce une sous-algèbre ?

4. Déterminer la plus petite sous-algèbre contenant \(F\). Quelle est sa dimension ? Est-elle commutative ?

5. Déterminer les éléments de \(R_n\).

6. Montrer que si \(M_{a,b}\) est diagonalisable alors \(bM_{0,1}\) aussi. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M_{a,b}\) soit diagonalisable.

[planches/ex5337] centrale MP 2019 (avec Python)

Pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), soit \(M_{a,b}=\pmatrix{3a+2b&-4a-b&2a\cr2a+b&-3a-b&2a\cr b&-b&a}\).

On définit \(E=\{M_{a,b}\ ;\ (a,b)\in\mathbf{C}^2\}\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(R_n=\{M\in E\ ;\ M^n=I_3\}\).

1. Calculer \(M_{1,0}M_{0,1}\), \(M_{0,1}M_{1,0}\), \(M_{0,1}^2\) et \(M_{1,0}^2\).

2. Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\). Est-ce une sous-algèbre de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

3. Déterminer \(R_n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

4. Trouver \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{C})\) telle que \(P^{-1}M_{1,0}P\) soit diagonale et \(P^{-1}M_{1,0}P\) triangulaire supérieure.

5. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), calculer \(PM_{a,b}^nP^{-1}\) et retrouver \(R_n\).

[ev.algebre/ex2298] Vrai ou faux ?

La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&3\\0&0&2\end{array}\right)\) est diagonalisable.

[planches/ex4332] escp B/L 2019 Pour toute matrice \(A\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\), on considère les ensembles suivants : \[E_1(A)=\{M\in {\cal M}_3(\mathbf{R}) \hbox{ telles que } AM=M\},\quad E_2(A)=\{M\in {\cal M}_3(\mathbf{R}) \hbox{ telles que } A^2M=AM\}\] On note \(I\) la matrice identité de \({\cal M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(E_1(A)\) et \(E_2(A)\) sont des sous-espaces vectoriels de \({\cal M}_3(\mathbf{R})\).

2. 1. Montrer que si \(A\) est inversible, alors \(E_1(A)=E_2(A)\).

   2. Déterminer \(E_1(A)\) lorsque \(A-I\) est inversible.

3. On considère la matrice \(C=\displaystyle \pmatrix{ 3 & -2 &-1\cr 1 &0 & -1\cr 2 & -2 & 0}\).

   1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(C\).

   2. Determiner une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(C=PDP^{-1}\) (les coefficients diagonaux de \(D\) sont rangés dans l’ordre croissant).

4. Soit \(M\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\) et \(N=P^{-1}M\).

   1. Montrer que \(M\in E_1(C)\) si et seulement si \(N\in E_1(D)\).

   2. Déterminer \(E_1(D)\).

   3. En déduire la dimension de \(E_1(C)\).

[planches/ex3909] centrale PSI 2018

1. Diagonaliser \(A=\pmatrix{0&-1&0\cr-2&2&-1\cr0&-1&0}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) sans calculer le polynôme caractéristique.

2. Soit \(A=\pmatrix{\lambda&-a&0\cr-\alpha&\mu&-b\cr0&-\beta&\nu}\) avec \(a\alpha>0\) et \(b\beta>0\). Montrer que ses valeurs propres sont réelles et que \(A\) est diagonalisable.

[oraux/ex8592] PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{5&1&-1\cr2&4&-2\cr1&-1&3}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable.

2. Calculer \(A^n\).

3. Soient \(u_0=v_0=w_0=1\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(\cases{u_{n+1}=5u_n+v_n-w_n\cr v_{n+1}=2u_n+4v_n-2w_n\cr w_{n+1}=u_n-v_n+3w_n}\).

   Pour \(n\in\mathbf{N}\), calculer \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\).

[examen/ex0594] imt MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}^{+*}\) et \(M=\pmatrix{1&\frac ba&\frac ca\cr\frac ab&1&\frac cb\cr\frac ac&\frac bc&1}\). Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de \(M\).

[oraux/ex6247] hec courts E 2015 On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? inversible ?

2. On note \(I\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). Établir l’existence d’une matrice \(N\) telle que \(A=I+N\). Déterminer pour tout \(k\in\mathbf{N}\), la matrice \(A^k\).

3. On rappelle l’identité remarquable : \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\). Déterminer \(A^{-1}\).

[planches/ex2528] centrale PSI 2017 Soient \(A\in\mathscr{M}_{2,3}(\mathbf{R})\) et \(B\in\mathscr{M}_{3,2}(\mathbf{R})\) deux matrices telles que \(AB=\pmatrix{1&0&x\cr0&1&0\cr1&0&1}\).

1. La matrice \(AB\) est-elle inversible ? Quelles sont les valeurs de \(x\) possibles ?

2. La matrice \(BA\) est-elle diagonalisable ?

3. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits A\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits B\).

4. Montrer qu’il existe une infinité de couples de matrices \((A,B)\) vérifiant l’hypothèse donnée dans cet exercice.

[concours/ex9577] PSI 2005 À quelle condition sur \(a\in\mathbf{R}\) la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&a&a\\ -1&1&-1\\1&0&2\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex5583] imt PSI 2019 Soient \(u\), \(v\), \(w\) trois suites vérifiant, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \[u_{n+1}=4u_n-3v_n-3w_n,\quad v_{n+1}=3u_n-2v_n-3w_n,\quad w_{n+1}=3u_n-3v_n-2w_n.\] Exprimer \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) en fonction de \(n\), \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\).

[examen/ex4138] imt PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{1&a&b\cr0&1&c\cr0&0&-1}\).

1. Calculer le spectre de \(A\) et son polynôme caractéristique.

2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \(a\), \(b\), \(c\), pour que \(A\) soit diagonalisable.

[concours/ex4529] escp S 2005

1. Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\ 0&0&-1\\ 1&-1&-1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0\\ -1&1&0\\ 0&0&2\end{array}\right)\).

   1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs colonnes propres des matrices \(A\) et \(B\).

   2. En déduire les valeurs propres de la matrice \(M(a,b)=\left(\begin{array}{ccc}b&-b& a\\ -b& b& -a\\ a&-a&2b-a\end{array}\right)\), où \(a\) et \(b\) sont deux paramètres réels.

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(\mathbf{R}_n[X]\) l’espace vectoriel constitué des polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égal à \(n\).

   Soit \((a_0,\ldots,a_n)\in\mathbf{R}^{n+1}\) ; on définit l’application \(\theta\) de \(\mathbf{R}_n[X]\) vers \(\mathbf{R}^{n+1}\) par : \(\theta(P)=\bigl(P(a_0),\ldots,P(a_n)\bigr)\).

   1. Montrer que si \(\theta\) est bijective, alors les nombres \(a_0\), … , \(a_n\) sont deux à deux distincts.

   2. Réciproquement, montrer que si les \(a_k\) sont deux à deux distincts, alors \(\theta\) est bijective.

3. 1. Existe-t-il un polynôme \(P\) à coefficients réels tel que \(P(A)=B\) ? Si oui, déterminer un tel polynôme.

   2. Répondre à la même question en échangeant les rôles de \(A\) et \(B\).

[ev.algebre/ex2198] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\ -1&2&-1\\ -1&1&0 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[concours/ex2299] mines M 1995 Soit \(A=\pmatrix{0&1&1\cr-2&3&2\cr1&-1&0}\). Calculer \(A^n\).

[concours/ex9540] centrale MP 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&2\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

3. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

[concours/ex9067] escp B/L 2010 On considère la matrice \(A= \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)\) et l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbf{R}^3\) qui lui est canoniquement associé.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. 1. Démontrer que les deux sous-espaces vectoriels \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-Id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\smash{(f-3Id)^2}\right)\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\).

   2. En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[T=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).\]

3. Calculer \(T^n\) pour \(n\) entier naturel non nul. En déduire \(A^n\).

4. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, donner l’expression de \((A^{-1})^n\) pour \(n \in \mathbf{N}^*\).

[ev.algebre/ex2210] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&6\\ -1&0&2\\1&2&2\end{array}\right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. En déduire, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), une expression de \(A^n\) en fonction de \(n\).

[examen/ex2429] imt MP 2024 Soient \(x\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{x&1&0\cr1&0&-1\cr0&-1&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse.

[planches/ex2707] ccp PSI 2017 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\), \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\) et \(M=\pmatrix{a+b&c&b\cr c&a+2b&c\cr b&c&a+b}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) en fonction des puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\). En déduire, pour \(k\in\mathbf{N}\), la valeur de \(M^k\).