Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex4144] imt PSI 2025 On considère \(A=\pmatrix{-1&4&0\cr0&1&0\cr1&0&3}\).

1. Déterminer le spectre de \(A\). Montrer que \(A\) est semblable à une matrice diagonale \(D\) que l’on explicitera.

2. Montrer que toute matrice commutant avec \(D\) est une matrice diagonale.

3. Soit \(P(X)=X^7+X+1\). Identifier les matrices \(M\) telles que \(P(M)=A\).

[oraux/ex7783] mines PC 2016 Soit \(M(\alpha)=\pmatrix{0&0&\alpha\cr1&0&1\cr0&1&0}\) pour \(\alpha\in\mathbf{C}\). Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \(M(\alpha)\) possède une valeur propre de module 1.

[oraux/ex7612] ensea MP 2014 Soit, pour \(a\in\mathbf{C}\) : \[M=\pmatrix{1+a&1&-1\cr2(1+a)&2&-2\cr-1&-1&1}.\] Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour que \(M_A\) soit diagonalisable.

[examen/ex2525] ccinp PSI 2024 Pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(M_\alpha=\pmatrix{1&3&0\cr0&4&0\cr\alpha&-2\alpha&\alpha+1}\).

1. La matrice \(M_\alpha\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le rang de \(M_\alpha\).

3. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) tel que \(M_{-1}=P\Delta P^{-1}\) avec \(\Delta=\pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&4}\).

4. Montrer qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=M_{-1}\) si et seulement s’il existe \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\Delta\).

5. Soit \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\Delta\). Montrer que \(B\Delta=\Delta B\).

6. En déduire les solutions \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) de \(B^2=\Delta\).

7. En déduire les solutions \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) de \(A^2=M_{-1}\).

[planches/ex2311] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{2&0&1\cr1&1&0\cr-1&1&3}\). Réduire la matrice \(A\).

[planches/ex3426] mines MP 2018 Soit \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\). Étudier le caractère diagonalisable de \[M=\pmatrix{0&a&b\cr-1/a&0&c\cr-1/b&-1/c&0}\] pour \((a,b,c)\in(\mathbf{K}^*)^3\).

[oraux/ex6848] hec courts E 2016 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est : \(A=\pmatrix{-1&1&1\cr0&0&2\cr1&-1&1}\).

1. Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\) et une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f\).

2. On admet sans démonstration que \(A^3=0\). Soit \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par \(M=\pmatrix{0&1&1\cr0&1&2\cr1&-1&2}\).

   1. Quelles sont les valeurs propres de \(M\) ? \(M\) est-elle diagonalisable ?

   2. Justifier que \(M\) est inversible et exprimer \(M^{-1}\) en fonction de \(A\) et de \(I\) (matrice identité de \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\)).

[concours/ex9807] mines MP 2009 Soit \(M_\lambda=\left(\begin{array}{ccc}-1&-\lambda&-\lambda\\0&-1&1\\ 1&0&-1\end{array}\right)\). Déterminer les espaces propres de \(M_\lambda\) suivant \(\lambda\).

[planches/ex4125] imt PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&a&1\cr a&0&1\cr a&1&0}\) avec \(a\in\mathbf{R}\).

1. Donner le rang de \(A\).

2. Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex7777] mines PSI 2016 Déterminer les classes de similitude de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\).

[oraux/ex5807] tpe PSI 2012 Discuter de la diagonalisabilité et de la trigonalisabilité en fonction du paramètre réel \(a\) de \(\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&-a&a\end{array} \right)\).

[concours/ex9614] centrale PC 2006 Soit \(M(a,b,c)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) définie par : \(M(a,b,c)=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\b&a+c&b+c\\c&b&a+c\end{array}\right)\). La matrice \(M(a,b,c)\) est-elle diagonalisable ? On pourra introduire \(M(0,1,0)\).

[examen/ex2182] mines PC 2024 Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\) telle que \(|Z|+1\sim\mathscr{G}(p)\) et telle que \(\forall n\in\mathbf{Z}\), \(\mathbf{P}(Z=n)=\mathbf{P}(Z=-n)\). Soit \(A=\pmatrix{0&Z&Z\cr Z&0&1\cr 1&1&0}\).

1. Déterminer la loi du rang de \(A\).

2. Déterminer la probabilité pour que \(A\) soit diagonalisable.

[planches/ex5518] tpe MP 2019 Montrer de deux manières différentes que \(\pmatrix{0&1&2\cr1&0&1\cr1&0&0}\) et \(\pmatrix{0&1&1\cr1&0&2\cr0&1&0}\) sont semblables.

[concours/ex9577] PSI 2005 À quelle condition sur \(a\in\mathbf{R}\) la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&a&a\\ -1&1&-1\\1&0&2\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex5070] escp S 1999 On note \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\) l’espace vectoriel réel des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On considère la matrice \(A\) définie par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & -1 \\1 & 0 & -1 \\1 & 1 & 0 \end{array}\right).\]

1. Déterminer la matrice \(B=A^2+2I\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(B^2=B+2I\).

3. Déterminer les valeurs propres de \(B\). En déduire les sous-espaces propres associés.

4. Vérifier que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^2+2\) est une valeur propre de \(B\). En déduire que \(A\) n’est pas diagonalisable dans \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\).

5. Montrer que \(B\) est inversible et exprimer \(B^{-1}\) en fonction des matrices \(B\) et \(I\).

6. On s’intéresse maintenant aux puissances de \(B\).

   1. On pose, pour tout \(n\geqslant 2\), \(X^n=(X^2-X-2)Q_n(X)+R_n(X)\) où \(Q_n\) et \(R_n\) sont deux polynômes tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(R_n)<2\).

      On note \(R_n(X)=a_nX+b_n\). Déterminer le couple \((a_n,b_n)\).

   2. En déduire l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), \(B\) et \(n\), pour \(n\geqslant 0\).

   3. Montrer que l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), de \(B\) et de \(n\), qui a été obtenue pour \(n\geqslant 0\), est encore valable pour les entiers négatifs.

[examen/ex3694] mines PC 2025 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=A^3\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(E_1(A))=1\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits A^2\) et \(E_1(A)\) sont supplémentaires.

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits A^2\) et \(E_1(A)\) sont stables par \(A\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(\pmatrix{1&0&0\cr0&0&\varepsilon\cr0&0&0}\) avec \(\varepsilon\in\{0,1\}\).

[examen/ex2288] centrale PSI 2024 Soit \(M(a,b,c)=\pmatrix{a&0&c\cr0&b&0\cr c&0&a}\) avec \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(M(a,b,c)\) et son déterminant.

2. Déterminer le noyau et l’image de la matrice.

3. La matrice \(M(a,b,c)\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex9578] ccp PSI 2005 Soit \(\alpha\in[-1,1]\) et \(A_\alpha=\left(\begin{array}{ccc} \alpha^2&\alpha\sqrt{1-\alpha^2}&\sqrt{1-\alpha^2}\\ \alpha\sqrt{1-\alpha^2}&1-\alpha^2&-\alpha\\ \sqrt{1-\alpha^2}&-\alpha&0\end{array}\right)\). Calculer le déterminant, la trace et les valeurs propres réelles de \(A_\alpha\). Cette matrice est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ?

[ev.algebre/ex2210] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&6\\ -1&0&2\\1&2&2\end{array}\right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. En déduire, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), une expression de \(A^n\) en fonction de \(n\).