Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex2186] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[oraux/ex7602] centrale PSI 2014 Soit \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et possède une unique valeur propre réelle \(a>1\).

2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)}\lambda^n\) est un entier.

3. Déterminer la nature de la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\pi a^n)\).

[examen/ex2522] imt PSI 2024 Soit \(M=\pmatrix{0&-a&-b\cr a&0&-c\cr b&c&0}\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\).

1. Trouver un polynôme annulateur de \(M\) de degré 3.

2. La matrice \(M\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

3. Montrer que les valeurs propres de \(M^2\) sont négatives ou nulles.

[planches/ex3729] mines PC 2018 Déterminer les \(\alpha\in\mathbf{C}\) pour lesquels \(\pmatrix{0&1&\alpha\cr1&0&0\cr0&1&0}\) est diagonalisable.

[ev.algebre/ex2181] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 3&4&-1\\ -1&1&1\\0&3&2 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[oraux/ex6127] hec courts S 2013 Soit \(x\in\mathbf{R}\) et \(M_x\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \[M=\left(\begin{array}{ccc} 1&x&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0\end{array}\right).\]

1. Pour quelles valeurs de \(x\) la matrice \(M_x\) est-elle diagonalisable ?

2. Dans le cas ou elle n’est pas diagonalisable, montrer que \(M_x\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[planches/ex5175] mines PC 2019 Soit \(A=\pmatrix{-4&-6&0\cr3&5&0\cr3&6&5}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Diagonaliser \(A\). En déduire une expression de \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

   Soient \((u_n)_{n\geqslant 0}\), \((v_n)_{n\geqslant 0}\), \((w_n)_{n\geqslant 0}\) trois suites réelles telles que : \[\forall n\in\mathbf{N},\quad u_{n+1}=-4u_n+6v_n,\quad v_{n+1}=3u_n+5v_n,\quad w_{n+1}=3u_n+6v_n+5w_n.\] On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(X_n={}^t(u_n\ v_n\ w_n)\).

2. Exprimer \(X_{n+1}\) en fonction de \(A\) et de \(X_0\).

3. En déduire une expression de \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) en fonction de \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\).

[oraux/ex5784] ccp MP 2012 Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc}1&-1&1\\ -1&1&-1\\1&-1&1\end{array}\right)\). Montrer que \(A\) est diagonalisable :

1. sans calcul ;

2. en calculant \(\chi_A\) ;

3. par le théorème du rang ;

4. en calculant \(A^2\).

[ev.algebre/ex2201] Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et \(A\) sa matrice représentative dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3\end{array}\right).\] Déterminer trois vecteurs \((e_1,e_2,e_3)\) formant une base de \(\mathbf{R}^3\) tels que : \[\left\{\begin{array}{rcl} f(e_1)&=&e_1\\f(e_2)&=&-e_2\\f(e_3)&=&e_1-e_2+e_3.\end{array}\right.\] En déduire une matrice triangulaire semblable à \(A\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex1411] hec courts E 2017 On considère les sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(\mathbf{R}^3\) définis par : \[\cases{F=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits\{(1,1,1)\}\cr G=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits\{(1,-1,0),(0,2,1)\}.}\]

1. Trouver un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont l’image est \(F\) et le noyau \(G\).

2. Peut-on le choisir diagonalisable ?

[ev.algebre/ex2183] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[ev.algebre/ex2182] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-2&-2\\ -1&1&-1\\ -1&0&2 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[ev.algebre/ex2184] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 3&4&-1\\ -1&1&1\\0&3&2 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[planches/ex8349] mines PC 2022 Soit \(a\in\mathbf{R}\). Déterminer les valeurs propres de \(M=\pmatrix{1-a&0&a\cr0&a&1-a\cr a&1-a&0}\).

[examen/ex0595] imt MP 2023 Soient \(A=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr0&0&0}\) et \(C=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&0&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. On veut montrer qu’il n’existe pas de matrice \(B\) telle que \(B^2=A\). On suppose l’existence d’une telle matrice.

   Trouver un polynôme annulateur simple de \(B\). Conclure.

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(C\).

[ev.algebre/ex2185] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&-2&-2\\ -1&1&-1\\ -1&0&2 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[examen/ex2294] centrale PSI 2024 Soit \(f\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) tel que \(f^3+f^2+f=0\). On suppose qu’il n’existe pas de polynôme annulateur non nul de \(f\) de degré inférieur ou égal à 2.

1. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ? Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(f)=2\).

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(f)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). En déduire \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).

3. Soit \(x\) non nul dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). Montrer que \((x,f(x))\) est libre.

4. Construire une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle \(f\) est représenté par \(\pmatrix{0&0&0\cr0&0&-1\cr0&1&-1}\).

[planches/ex5584] imt PSI 2019 Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(M^2=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\).

[oraux/ex4246] centrale PSI 2011 Soit \((A,B)\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\) et \(U=A{}^tB+B{}^tA\). Déterminer les éléments propres de \(U\).

[ev.algebre/ex2200] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).