Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7385] ccinp PC 2021 Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) pour que la matrice \(M=\pmatrix{0&0&c^2\cr0&b^2&0\cr a^2&0&0}\) soit diagonalisable.

[oraux/ex6133] escp courts 2013 Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois réels non nuls, et \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&c^2\\0&b^2&0\\a^2&0&0\end{array}\right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). Étudier la diagonalisabilité de la matrice \(A\).

[concours/ex9741] centrale PC 2008

1. Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&a&2ab\\a&0&2ab\\2ab&a&0\end{array}\right)\) où \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Déterminer (avec Maple) les valeurs propres et les sous-espaces propres en fonction de \(a\) et \(b\).

2. On pose \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0\end{array}\right)\). Réduire \(A\). Lorsque \(\theta=\pi/3\), calculer \(A^n\).

[concours/ex9755] ensiie PSI 2008 Soient \(a\in\mathbf{R}\setminus\pi\mathbf{Z}\) et \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0\end{array}\right)\).

1. Donner les valeurs propres de \(A\).

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? La diagonaliser quand c’est possible.

[planches/ex8986] ccinp PC 2022 Soit \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(M=\pmatrix{0&0&c^2\cr0&b^2&0\cr a^2&0&0}\). Déterminer les valeurs propres de \(M\) en fonction de \(a\), \(b\) et \(c\).

[oraux/ex7583] mines PC 2014 Pour quels \(\phi\in\mathbf{R}\) la matrice suivante est-elle diagonalisable ? \[\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)&0}.\]

[planches/ex5688] imt PC 2019 Soient \(\varphi\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&0}\).

Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(\varphi\) pour que \(A\) soit diagonalisable.

[planches/ex2877] hec courts S 2018 On considère la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) : \[M=\pmatrix{e^{2i\pi/3}&e^{4i\pi/3}&1\cr e^{4i\pi/3}&1&e^{2i\pi/3}\cr1&e^{2i\pi/3}&e^{4i\pi/3}}.\]

1. Calculer la trace et le rang de \(M\).

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

3. Justifier que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\pmatrix{e^{4i\pi/3}&e^{2i\pi/3}&1\cr e^{2i\pi/3}&1&e^{4i\pi/3}\cr1&e^{4i\pi/3}&e^{2i\pi/3}}\).

[planches/ex2798] tpe PC 2017 Soit \(M=\pmatrix{j&j^2&1\cr j^2&1&j\cr1&j&j^2}\). Calculer le rang de \(M\). Préciser son spectre. Est-elle trigonalisable ? diagonalisable ?

[examen/ex3540] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&z&z\cr1&0&z\cr1&1&0}\) avec \(z\in\mathbf{C}\).

1. Si \(z=1\), justifier que \(A\) est diagonalisable.

2. Pour quels \(z\in\mathbf{C}\), la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex5590] ccinp PSI 2019 Soit \(u\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) tel que \(u^3=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) et \(u\neq\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

1. Montrer que 1 est valeur propre de \(u\).

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^2+u+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})=\mathbf{R}^3\).

3. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de \(u\) est \(\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0}\).

[examen/ex2519] imt PSI 2024 Étudier la diagonalisabilité de \(A=\pmatrix{a&0&b\cr0&a+b&0\cr b&0&a}\) pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\).

[oraux/ex7582] mines PC 2014 Soit \(z\in\mathbf{C}\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(z\) pour que la matrice \(\pmatrix{0&z&z\cr1&0&z\cr1&1&0}\) soit diagonalisable.

[concours/ex1689] polytechnique MP 1999 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

1. Quelles sont les valeurs propres de \(M\) ?

2. On pose \(u_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M^n\) pour tout \(n\). Exprimer \(u_n\) à l’aide des valeurs propres de \(M\). Définir \(u_n\) par une relation de récurrence linéaire.

3. Soit un entier \(q\geqslant 2\). Étudier la suite \((u_n)\) modulo \(q\). On commencera par \(q=4\) puis \(q=5\).

4. Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{2\pi\over q}u_n\right)\) ?

5. Soit \(\alpha\) la valeur propre réelle de \(M\). Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{2\pi\over q}\alpha^n\right)\) ?

[planches/ex5585] saint-cyr PSI 2019 Montrer que la matrice \(A=\pmatrix{a&0&b\cr0&a+b&0\cr b&0&a}\) est diagonalisable et trouver ses éléments propres.

[concours/ex1081] polytechnique MP 1998 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right) \in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\).

1. Étudier les valeurs propres de \(M\).

2. Soit \(\rho\) la valeur propre réelle, \(\sigma\) et \(\overline\sigma\) les valeurs propres non réelles. Montrer que \(\rho>1\) et \(|\sigma|<1\).

3. On pose \(u_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M^n\). Valeur de \(u_n\) en fonction de \(\rho\), \(\sigma\), \(\overline\sigma\) ? Formule de récurrence sur les \(u_n\) ?

4. Montrer que, pour tout \(\alpha\in\mathbf{R}\), les séries \(\sum\limits\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\alpha u_n)\) et \(\sum\limits\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\alpha\rho^n)\) sont de même nature.

[planches/ex2661] imt MP 2017 Conditions sur \((a,b,c,d)\) pour que la matrice \(\pmatrix{1&a&b\cr0&2&c\cr0&0&d}\) soit diagonalisable ?

[concours/ex7438] polytechnique 2003

1. Que dire des valeurs propres de la matrice \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

2. On appelle \(a\) la valeur propre réelle de \(M\), \(b\) et \(c\) ses deux valeurs propres complexes conjuguées. Calculer \(U_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^n)\).

3. Soit \(k\) un réel. Comparer les séries de termes généraux \(V_n\) et \(W_n\) définies par : \(nV_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(kU_n)\) et \(nW_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(ka^n)\).

4. Montrer que \(U_n\) vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

5. Étudier la nature des séries de termes généraux \(V_n\) et \(W_n\) lorsque \(k=\pi\), \(k=\pi/2\) et \(k=\pi/4\).

[examen/ex2522] imt PSI 2024 Soit \(M=\pmatrix{0&-a&-b\cr a&0&-c\cr b&c&0}\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\).

1. Trouver un polynôme annulateur de \(M\) de degré 3.

2. La matrice \(M\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

3. Montrer que les valeurs propres de \(M^2\) sont négatives ou nulles.

[ev.algebre/ex2182] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-2&-2\\ -1&1&-1\\ -1&0&2 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).