Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9540] centrale MP 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&2\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

3. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

[concours/ex0168] mines MP 1996 Soit la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\2&1&3\\0&0&2\end{array}\right)\).

1. Trouver le polynôme caractéristique, les valeurs propres de \(A\).

2. Exprimer, pour \(\lambda\) tel que \(A-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) est inversible, \((A-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})^{-1}\) comme combinaison linéaire de \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), \(A\), \(A^2\).

[examen/ex0993] hec S 2024 On considère la matrice : \[A=\pmatrix{-4&-3&-3\cr0&2&0\cr6&3&5}.\] On note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) représenté dans la base canonique par la matrice \(A\).

1. Question de cours : caractérisation des endomorphismes diagonalisables à l’aide des dimensions des sous-espaces propres.

2. 1. Écrire une fonction Python prenant en argument deux vecteurs de taille 3 et renvoyant un booléen (True ou False) indiquant s’ils sont colinéaires. On pourra représenter les vecteurs par des types array.

   2. Écrire une fonction Python prenant en argument un vecteur de taille 3 et renvoyant un booléen indiquant s’il est vecteur propre de \(A\).

3. 1. Vérifier que les vecteurs \((-1,2,0)\), \((0,1,-1)\) et \((1,0,-1)\) sont des vecteurs propres de \(f\).

   2. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

4. 1. Écrire un programme Python permettant de déterminer le nombre de vecteurs propres de \(A\) dont les coefficients sont des entiers compris entre \(-10\) et 10 (bornes incluses).

   2. Pour \(N\) un entier naturel non nul, calculer le nombre de vecteurs propres de \(A\) dont les coefficients sont des entiers compris entre \(-N\) et \(N\) (bornes incluses).

5. Soit \(N\) un entier naturel non nul. Une expérience consiste à choisir au hasard de manière indépendante \(N\) vecteurs à coefficients entiers dans \([[-N,N]]^3\).

   1. Quelle est la probabilité \(p_N\) d’obtenir au moins un vecteur propre de \(A\) parmi ces \(N\) vecteurs ?

   2. Quelle est la limite de \(p_N\) lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\) ?

[oraux/ex0037] ccp PC 2010 Déterminer pour quels \(z\in\mathbf{C}\) la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&z\\1&0&0\\1&0&0\end{array}\right)\) est diagonalisable.

[planches/ex7494] escp B/L 2022 Soit \(E=\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique \(B=\pmatrix{e_1,e_2,e_3}\).
Soit \(A=\pmatrix{6&-6&5\cr-4&-1&10\cr7&-6&4}\). On considère l’endomorphisme \(u\) de \(E\), qui a pour matrice \(A\) dans la base \(B\).

Dans la suite, on confond \(\mathbb{R}^3\) et l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) des matrices colonnes à 3 lignes. On dit qu’un sous-espace \(F\) de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) est stable par \(A\), si pour tout \(X\in F, AX\in F\).

1. 1. Vérifier que \(-1\) et \(5\) sont valeurs propres de \(u\) et déterminer les sous-espaces propres associés \(E_{-1}\) et \(E_5\).
      On admet désormais que ces deux valeurs sont les seules valeurs propres de \(u\).

   2. Les sous-espaces \(E_{-1}\) et \(E_5\) sont-ils stables par \(A\) ?

   3. L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?

2. Déterminer tous les sous-espaces de \(E\) de dimension \(1\) qui sont stables par \(A\).

3. Soit \(P\) un sous-espace de dimension \(2\) stable par \(A\).

   1. Déterminer \(P\) si on suppose en plus que \(P\) contient \(E_5\).

   2. Vérifier qu’une solution est \(P_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-5Id)^2\).

4. Soit \(P\) un sous-espace de dimension \(2\) stable par \(A\). Que dire de \(P \cap P_1\) ?

5. En déduire tous les sous-espaces vectoriels stables par \(A\).