Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex3694] mines PC 2025 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=A^3\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(E_1(A))=1\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits A^2\) et \(E_1(A)\) sont supplémentaires.

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits A^2\) et \(E_1(A)\) sont stables par \(A\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(\pmatrix{1&0&0\cr0&0&\varepsilon\cr0&0&0}\) avec \(\varepsilon\in\{0,1\}\).

[examen/ex0741] ccinp PSI 2023 Soient le système : \[\cases{u_{n+1}=u_n-2v_n-w_n\cr v_{n+1}=-u_n+v_n-w_n\cr w_{n+1}=-u_n-2v_n+w_n}\quad\hbox{et}\quad X_n=\pmatrix{u_n\cr v_n\cr w_n}.\]

1. Trouver \(A\) telle que \(X_{n+1}=AX_n\). Exprimer \(X_n\) en fonction de \(X_0\) et \(A\).

2. La matrice \(A\) est-t-elle diagonalisable ? Trouver une matrice \(P\) telle que \(P^{-1}AP\) est triangulaire supérieure.

3. Exprimer \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(n\).

[oraux/ex6804] hec S 2016

1. Question de cours : Indiquer pour quels nombres réels les séries \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}x^n\) et \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}nx^{n-1}\) sont convergentes et préciser alors leurs sommes respectives.

   Soit \(a\) un nombre réel strictement positif.

   On note \(M=\pmatrix{1+a&-1&1\cr1+2a&-a-1&1\cr2a&-2a&a}\), \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) est \(M\), et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\).

2. Montrer que \(-a\) est une valeur propre de \(u\) et trouver la dimension du sous-espace propre \(E_{-a}(u)\) associé.

3. On pose : \(f=(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})^2\) (composé de l’endomorphisme \(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) avec lui-même).

   1. Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\).

   2. Montrer que \(E_{-a}(u)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\) sont deux sous-espaces supplémentaires de \(\mathbf{R}^3\).

   3. En déduire un polynôme annulateur de \(u\) de degré 3.

   4. L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?

4. On note \(p\) le projecteur de noyau \(E_{-a}(u)\) et d’image \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\). On pose : \(h=u-ap+a(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)\).

   1. Montrer que \(h^2\) est l’endomorphisme nul.

   2. Établir pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’égalité : \(u^n=a^np+(-a)^n(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)+na^{n-1}h\).

5. On suppose dans cette question que \(0<a<1\).

   Montrer que l’endomorphisme \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u\) est bijectif et que sa réciproque \((\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u)^{-1}\) appartient à l’espace vectoriel \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}},p,h)\).

[oraux/ex7499] ccp PSI 2013 Soient \(A=\pmatrix{a&1&b\cr1&c&d\cr e&f&1}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(\mathscr{B}=\left(\pmatrix{1\cr1\cr0},\pmatrix{1\cr2\cr1},\pmatrix{1\cr-1\cr2}\right)\). Trouver \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) tels que \(\mathscr{B}\) soit une base de vecteurs propres de \(A\).

[oraux/ex8653] ccp PC 2016 On pose \(A=\pmatrix{2&1&-4\cr0&1&-2\cr1&1&-3}\), \(B=\pmatrix{1&1&-2\cr2&2&-4\cr1&1&-2}\).

1. Calculer \(A^2\), \(A^3\). En déduire une expression de \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

2. Calculer les valeurs propres de \(A\). Est-elle diagonalisable ?

3. Montrer que les vecteurs propres de \(A\) sont aussi des vecteurs propres de \(B\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?

4. Soient \((x,y)\in\mathbf{R}^2\) et \(M(x,y)=xA+yB\). Montrer que \(M(x,y)\) est diagonalisable et donner l’expression de \((M(x,y))^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

[examen/ex2046] mines PC 2024 Soient \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0}\) et \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(M^3=I_3\) et \(M\neq I_3\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\) ? dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\) ? Donner ses valeurs propres.

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\) ? Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(M)\subset\{1,j,j^2\}\) et que les multiplicités de \(j\) et \(j^2\) sont les mêmes. Donner le spectre de \(M\).

3. Montrer que \(A\) et \(M\) sont semblables dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\), puis dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\).

[oraux/ex7612] ensea MP 2014 Soit, pour \(a\in\mathbf{C}\) : \[M=\pmatrix{1+a&1&-1\cr2(1+a)&2&-2\cr-1&-1&1}.\] Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour que \(M_A\) soit diagonalisable.

[planches/ex4332] escp B/L 2019 Pour toute matrice \(A\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\), on considère les ensembles suivants : \[E_1(A)=\{M\in {\cal M}_3(\mathbf{R}) \hbox{ telles que } AM=M\},\quad E_2(A)=\{M\in {\cal M}_3(\mathbf{R}) \hbox{ telles que } A^2M=AM\}\] On note \(I\) la matrice identité de \({\cal M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(E_1(A)\) et \(E_2(A)\) sont des sous-espaces vectoriels de \({\cal M}_3(\mathbf{R})\).

2. 1. Montrer que si \(A\) est inversible, alors \(E_1(A)=E_2(A)\).

   2. Déterminer \(E_1(A)\) lorsque \(A-I\) est inversible.

3. On considère la matrice \(C=\displaystyle \pmatrix{ 3 & -2 &-1\cr 1 &0 & -1\cr 2 & -2 & 0}\).

   1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(C\).

   2. Determiner une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(C=PDP^{-1}\) (les coefficients diagonaux de \(D\) sont rangés dans l’ordre croissant).

4. Soit \(M\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\) et \(N=P^{-1}M\).

   1. Montrer que \(M\in E_1(C)\) si et seulement si \(N\in E_1(D)\).

   2. Déterminer \(E_1(D)\).

   3. En déduire la dimension de \(E_1(C)\).

[concours/ex9456] mines 2004 Diagonaliser \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

[ev.algebre/ex2199] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[oraux/ex7493] mines alès MP 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\), de trace nulle, de rang 2 et telle que \(A^3\neq0\). Étudier la diagonalisabilité de \(A\).

[ev.algebre/ex2197] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&-4\\ -2&1&2\\ -2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[examen/ex2525] ccinp PSI 2024 Pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(M_\alpha=\pmatrix{1&3&0\cr0&4&0\cr\alpha&-2\alpha&\alpha+1}\).

1. La matrice \(M_\alpha\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le rang de \(M_\alpha\).

3. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) tel que \(M_{-1}=P\Delta P^{-1}\) avec \(\Delta=\pmatrix{0&0&0\cr0&1&0\cr0&0&4}\).

4. Montrer qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=M_{-1}\) si et seulement s’il existe \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\Delta\).

5. Soit \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\Delta\). Montrer que \(B\Delta=\Delta B\).

6. En déduire les solutions \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) de \(B^2=\Delta\).

7. En déduire les solutions \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) de \(A^2=M_{-1}\).

[oraux/ex8593] ccp PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{1&0&2\cr1&1&1\cr-1&0&-2}\).

1. Diagonaliser \(A\) (donner \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) et \(D\) diagonale telles que \(A=PDP^{-1}\)).

2. Soit \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\). La matrice \(\alpha A+\beta I_3\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex5003] escp B/L 1999 Soit \(M_a=\left(\begin{array}{ccc}a+1&1-a&a-1\\ -1&3&2a-3\\ a-2&2-a&3a-2\end{array}\right)\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\), \(a\) étant un paramètre réel.

On note \(f_a\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) associé à \(M_a\) relativement à la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

Déterminer les valeurs propres de \(M_a\). La matrice \(M_a\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex6393] hec courts E 2013 Soit \(A\) une matrice carrée de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que si \(A\) est diagonalisable, \(A^3\) l’est aussi.

2. On suppose maintenant que \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0}\).

   1. Calculer \(A^3\).

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex4130] ccp PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&5/4&2\cr2&0&-2\cr0&3/4&2}\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. En déduire l’ensemble \(\{M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R}),\ AM=MA\}\).

[planches/ex7390] ccinp PC 2021 Pour \(a\), \(b\) réels, on pose \(M(a,b)=\pmatrix{a&0&b\cr a&b&a\cr b&0&a}\) et \(J=M(0,1)\), \(K=M(1,0)\).

1. Déterminer les éléments propres des matrices \(J\) et \(K\).

2. Les matrices \(J\) et \(K\) ont-elles une base commune de vecteurs propres ?

[concours/ex2932] ccp M 1994 La matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 2&0&-2\\3&-3&0\\8&-6&2\end{array}\right)\) est-elle trigonalisable ?

[planches/ex7315] imt PSI 2021 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\) et \(A=\pmatrix{0&b&c\cr a&0&c\cr a&b&0}\).

1. Calculer le déterminant de \(A\).

2. À quelle condition \(A\) est-elle diagonalisable ?