Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex2183] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[ev.algebre/ex2201] Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et \(A\) sa matrice représentative dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3\end{array}\right).\] Déterminer trois vecteurs \((e_1,e_2,e_3)\) formant une base de \(\mathbf{R}^3\) tels que : \[\left\{\begin{array}{rcl} f(e_1)&=&e_1\\f(e_2)&=&-e_2\\f(e_3)&=&e_1-e_2+e_3.\end{array}\right.\] En déduire une matrice triangulaire semblable à \(A\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

[examen/ex0595] imt MP 2023 Soient \(A=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr0&0&0}\) et \(C=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&0&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. On veut montrer qu’il n’existe pas de matrice \(B\) telle que \(B^2=A\). On suppose l’existence d’une telle matrice.

   Trouver un polynôme annulateur simple de \(B\). Conclure.

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(C\).

[examen/ex0471] centrale PSI 2023 Soit \(A=\pmatrix{3&-1&2\cr2&0&1\cr1&-1&2}\).

1. Montrer que \(A\) a une valeur propre double \(a>0\) et une simple \(b>0\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(f\) une fonction de \(\mathbf{R}^{+*}\) dans \(\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\). Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P_f\in\mathbf{R}_2[X]\) tel que : \[P_f(a)=f(a),\quad P_f(b)=f(b),\quad P'_f(a)=f'(a).\]

3. Pour toute fonction \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^{+*},\mathbf{R})\), on pose \(f(A)=P_f(A)\). Calculer \(f(A)\) dans les cas où \(f:x\mapsto x^2\), puis \(f:x\mapsto x^3\).

4. Désormais on prend \(f:x\mapsto\displaystyle\frac{1}{x}\). Conjecturer la valeur de \(Af(A)\) et prouver cette conjecture.

[planches/ex4125] imt PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&a&1\cr a&0&1\cr a&1&0}\) avec \(a\in\mathbf{R}\).

1. Donner le rang de \(A\).

2. Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex6385] hec courts S 2013 Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et soit \(A\) la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On suppose que \(f\) n’est pas diagonalisable et qu’il vérifie : \((f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\mathbin{\circ}(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})=0\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) sont supplémentaires.

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\pmatrix{0&-1&0\cr1&0&0\cr0&0&1}\).

[concours/ex2299] mines M 1995 Soit \(A=\pmatrix{0&1&1\cr-2&3&2\cr1&-1&0}\). Calculer \(A^n\).

[concours/ex4359] hec E 2006 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique s’écrit : \(A=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right)\).

1. Définition et propriétés des matrices de passage.

2. Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\).

3. Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f\).

4. Donner les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).

5. \(f\) est-il diagonalisable ?

6. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

7. On note \(I\) la matrice identité dans la base canonique. Déterminer les réels \(a\) tels que l’on ait \((A-aI)^2=I\).

[concours/ex5076] escp S 1999 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\ 1&2&1\\ 0&0&3\end{array}\right)\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) de matrice \(A\) relativement à la base canonique.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\).

2. Montrer que les deux sous-espaces \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-3id)^2\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\). En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \(A'=\left(\begin{array}{ccc}3&1&0\\ 0&3&0\\ 0&0&1\end{array}\right)\). Calculer \(A'^n\), pour \(n\in\mathbf{N}^*\), en déduire \(A^n\).

[concours/ex9973] mines PC 2010 Soient \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\in\mathbf{R}\). On suppose les \(a_i\) distincts et les \(b_i\) strictement positifs. On pose \(M=\left(\begin{array}{ccc}a_1+b_1&b_1&b_1\\b_2&a_2+b_2&b_2\\b_3&b_3&a_3+b_3 \end{array}\right)\). Montrer que \(M\) est diagonalisable.