Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2297] mines PC 2017

1. Soit \(A=\pmatrix{-4&-6&0\cr3&-5&0\cr3&6&-5}\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

2. Soient \((u_n)_{n\geqslant 0}\), \((v_n)_{n\geqslant 0}\), \((w_n)_{n\geqslant 0}\) trois suites vérifiant, pour tout \(n\) dans \(\mathbf{N}\), \[u_{n+1}=-4u_n-6v_n,\quad v_{n+1}=3u_n-5v_n,\quad w_{n+1}=3u_n+6v_n-5w_n.\] Exprimer \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\) et \(n\).

[ev.algebre/ex2201] Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et \(A\) sa matrice représentative dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3\end{array}\right).\] Déterminer trois vecteurs \((e_1,e_2,e_3)\) formant une base de \(\mathbf{R}^3\) tels que : \[\left\{\begin{array}{rcl} f(e_1)&=&e_1\\f(e_2)&=&-e_2\\f(e_3)&=&e_1-e_2+e_3.\end{array}\right.\] En déduire une matrice triangulaire semblable à \(A\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

[ev.algebre/ex2186] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[ev.algebre/ex2182] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-2&-2\\ -1&1&-1\\ -1&0&2 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[planches/ex8349] mines PC 2022 Soit \(a\in\mathbf{R}\). Déterminer les valeurs propres de \(M=\pmatrix{1-a&0&a\cr0&a&1-a\cr a&1-a&0}\).

[concours/ex9530] mines PC 2005 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) pour que : \[\left(\begin{array}{ccc}a-b-c&2a&2a\\2b&b-a-c&2b\\2c&2c&c-a-b \end{array}\right)\] soit diagonalisable sur \(\mathbf{R}\).

[oraux/ex5784] ccp MP 2012 Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc}1&-1&1\\ -1&1&-1\\1&-1&1\end{array}\right)\). Montrer que \(A\) est diagonalisable :

1. sans calcul ;

2. en calculant \(\chi_A\) ;

3. par le théorème du rang ;

4. en calculant \(A^2\).

[examen/ex2522] imt PSI 2024 Soit \(M=\pmatrix{0&-a&-b\cr a&0&-c\cr b&c&0}\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\).

1. Trouver un polynôme annulateur de \(M\) de degré 3.

2. La matrice \(M\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

3. Montrer que les valeurs propres de \(M^2\) sont négatives ou nulles.

[ev.algebre/ex2183] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[examen/ex2294] centrale PSI 2024 Soit \(f\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) tel que \(f^3+f^2+f=0\). On suppose qu’il n’existe pas de polynôme annulateur non nul de \(f\) de degré inférieur ou égal à 2.

1. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ? Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(f)=2\).

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(f)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). En déduire \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).

3. Soit \(x\) non nul dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). Montrer que \((x,f(x))\) est libre.

4. Construire une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle \(f\) est représenté par \(\pmatrix{0&0&0\cr0&0&-1\cr0&1&-1}\).