Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7602] centrale PSI 2014 Soit \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et possède une unique valeur propre réelle \(a>1\).

2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)}\lambda^n\) est un entier.

3. Déterminer la nature de la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\pi a^n)\).

[planches/ex5175] mines PC 2019 Soit \(A=\pmatrix{-4&-6&0\cr3&5&0\cr3&6&5}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Diagonaliser \(A\). En déduire une expression de \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

   Soient \((u_n)_{n\geqslant 0}\), \((v_n)_{n\geqslant 0}\), \((w_n)_{n\geqslant 0}\) trois suites réelles telles que : \[\forall n\in\mathbf{N},\quad u_{n+1}=-4u_n+6v_n,\quad v_{n+1}=3u_n+5v_n,\quad w_{n+1}=3u_n+6v_n+5w_n.\] On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(X_n={}^t(u_n\ v_n\ w_n)\).

2. Exprimer \(X_{n+1}\) en fonction de \(A\) et de \(X_0\).

3. En déduire une expression de \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) en fonction de \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\).

[ev.algebre/ex2186] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[planches/ex5588] tpe PSI 2019 Soit \(M=\pmatrix{0&-a&-b\cr a&0&-c\cr b&c&0}\) où \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}\).

1. Déterminer un polynôme annulateur de degré 3 de \(M\).

2. La matrice \(M\) est-elle inversible ?

3. Est-elle diagonalisable ?

4. Montrer que les valeurs propres de \(M^2\) sont négatives ou nulles.

[ev.algebre/ex2201] Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et \(A\) sa matrice représentative dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3\end{array}\right).\] Déterminer trois vecteurs \((e_1,e_2,e_3)\) formant une base de \(\mathbf{R}^3\) tels que : \[\left\{\begin{array}{rcl} f(e_1)&=&e_1\\f(e_2)&=&-e_2\\f(e_3)&=&e_1-e_2+e_3.\end{array}\right.\] En déduire une matrice triangulaire semblable à \(A\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

[ev.algebre/ex2183] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[ev.algebre/ex2181] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 3&4&-1\\ -1&1&1\\0&3&2 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[oraux/ex4646] escp courts 2011 Soient trois nombres complexes \(a\), \(b\), \(c\). Calculer la matrice \(A^{7}\), avec : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1+i\sqrt3 &a&b\cr 0&1-i\sqrt 3&c\cr 0&0& 2\end{array}\right).\]

[ev.algebre/ex2182] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-2&-2\\ -1&1&-1\\ -1&0&2 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[concours/ex9530] mines PC 2005 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) pour que : \[\left(\begin{array}{ccc}a-b-c&2a&2a\\2b&b-a-c&2b\\2c&2c&c-a-b \end{array}\right)\] soit diagonalisable sur \(\mathbf{R}\).