Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9788] polytechnique PC 2009

1. La matrice \(J=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ? sur \(\mathbf{C}\) ?

2. La matrice \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right)\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?

[concours/ex9563] centrale PC 2005 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a\end{array} \right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

2. Trouver \(\alpha\in\mathbf{R}\) et \(J\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) tels que \(M=\alpha I_3+cJ+bJ^2\).

3. Trouver les éléments propres de \(M\).

[concours/ex0990] ccp MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a \end{array}\right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{Z}\).

[oraux/ex8603] PSI 2016 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), \(M=\pmatrix{a&c&b\cr c&a+b&c\cr b&c&a}\) et \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) à l’aide des puissances de \(K\).

3. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

[concours/ex6683] escp S 2008 Soit \(a,b,c\) trois réels et \(M\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \[M=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & c\\ 0 & b & 0\\ a & 0 & 0\end{array}\right)\] On note \({\cal C}(M)=\{ X\in {\cal M}_3(\mathbb{R}) \mid XM=MX \}\).

1. Montrer que \({\cal C}(M)\) est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).

2. On suppose dans cette question que \(ac>0\).

   Déterminer les éléments propres de \(M\). En déduire que \(M\) est diagonalisable.

   On suppose désormais que \(ac>0\) et \(b^2\neq ac\).

3. 1. Soit \(X\) un élément de \({\cal C}(M)\). Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(M\) et \(u\) un vecteur propre associé. Montrer qu’il existe un réel \(\alpha\) tel que \(Xu=\alpha u\).

   2. En déduire que \(X\) est diagonalisable.

4. 1. Déterminer la dimension de \({\cal C}(M)\).

   2. Donner une base de \({\cal C}(M)\), lorsque \(a=c\). L’espace vectoriel \({\cal C}(M)\) est-il alors constitué de matrices symétriques ?

[ev.algebre/ex2191] Soit \(a\), \(b\), \(c\) trois nombres réels. On considère l’endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{R}^3\), muni de la base \(\mathscr{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}\), dont la matrice dans \(\mathscr{B}\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&c\\0&b&0\\a&0&0\end{array}\right).\]

1. Montrer que \(\lambda\) est une valeur propre de \(u\) si et seulement si : \[(\lambda-b)(\lambda^2-ac)=0.\]

2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(u\), en distinguant \(b^2\neq ac\) et \(b^2=ac\).

3. A quelles conditions sur \(a\), \(b\), \(c\), \(u\) est-il diagonalisable ?

[concours/ex9755] ensiie PSI 2008 Soient \(a\in\mathbf{R}\setminus\pi\mathbf{Z}\) et \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0\end{array}\right)\).

1. Donner les valeurs propres de \(A\).

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? La diagonaliser quand c’est possible.

[oraux/ex5888] ccp PC 2012 Étudier la diagonalisabilité de \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&c^2\\0&b^2&0\\a^2&0&0\end{array}\right)\) où \(a,b,c\in \mathbf{R}\).

[planches/ex6872] mines PSI 2021 Soit \(\varphi\in\mathbf{R}\). La matrice \(\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&0}\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex9741] centrale PC 2008

1. Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&a&2ab\\a&0&2ab\\2ab&a&0\end{array}\right)\) où \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Déterminer (avec Maple) les valeurs propres et les sous-espaces propres en fonction de \(a\) et \(b\).

2. On pose \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0\end{array}\right)\). Réduire \(A\). Lorsque \(\theta=\pi/3\), calculer \(A^n\).