Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0990] ccp MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a \end{array}\right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{Z}\).

[planches/ex5684] imt PC 2019 Soit \(J=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0}\). Pour \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), on pose \(M(a,b,c)=aI_3+bJ+cJ^2\).

1. Montrer que les matrices \(M(a,b,c)\), pour \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), commutent entre elles.

2. Montrer que \(J\) est diagonalisable. Préciser ses éléments propres.

3. Soit \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\). Montrer que \(M(a,b,c)\) est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.

[oraux/ex7782] mines PC 2016 Déterminer les \(z\in\mathbf{C}\) pour lesquels la matrice \(\pmatrix{0&0&z\cr1&0&0\cr1&1&0}\) est diagonalisable.

[oraux/ex8603] PSI 2016 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), \(M=\pmatrix{a&c&b\cr c&a+b&c\cr b&c&a}\) et \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) à l’aide des puissances de \(K\).

3. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

[concours/ex9454] mines 2004 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) est diagonalisable sur \(\mathbf{C}\).

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?

[oraux/ex4815] hec courts S 2012 Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des réels non nuls vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\). On pose \(U=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\).

1. 1. Calculer \(M=U{}^tU\).

   2. \(M\) est-elle diagonalisable ?

   3. \(M\) est-elle inversible ?

2. Calculer \(M^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

3. Donner les valeurs propres de \(M\) et les sous-espaces propres associés.

[concours/ex9563] centrale PC 2005 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a\end{array} \right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

2. Trouver \(\alpha\in\mathbf{R}\) et \(J\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) tels que \(M=\alpha I_3+cJ+bJ^2\).

3. Trouver les éléments propres de \(M\).

[concours/ex5595] mines MP 2007 Soit \(j=e^{2i\pi/3}\). La matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&j&j^2\\j&j^2&1\\j^2&1&j\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex4066] ccp PSI 2018

1. Diagonaliser \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

2. Écrire \(M=\pmatrix{a&c&b\cr c&a+b&c\cr b&c&a}\) à l’aide de puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\) et calculer \(M^n\).

[examen/ex2619] imt PC 2024 Soient \(A=\pmatrix{a&b&c\cr c&a&b\cr b&c&a}\) et \(J=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0}\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\).

1. Exprimer \(A\) en fonction de \(I\), \(J\) et \(J^2\).

2. Déterminer le polynôme caractéristique de \(J\). La matrice \(J\) est-elle diagonalisable ?

3. Diagonaliser \(A\).