Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0810] PC 2023 Soient \(J=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0}\) et \(M=\pmatrix{x&z&y\cr y&x&z\cr z&y&x}\). Calculer \(J^2\) et \(J^3\). Exprimer \(M\) à l’aide de \(J\), \(J^2\) et \(J^3\). Montrer que \(J\) est diagonalisable. Qu’en est-il de \(M\) ?

[ev.algebre/ex2146] Diagonaliser (si possible) la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).

[concours/ex5595] mines MP 2007 Soit \(j=e^{2i\pi/3}\). La matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&j&j^2\\j&j^2&1\\j^2&1&j\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex9563] centrale PC 2005 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a\end{array} \right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

2. Trouver \(\alpha\in\mathbf{R}\) et \(J\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) tels que \(M=\alpha I_3+cJ+bJ^2\).

3. Trouver les éléments propres de \(M\).

[oraux/ex8603] PSI 2016 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), \(M=\pmatrix{a&c&b\cr c&a+b&c\cr b&c&a}\) et \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) à l’aide des puissances de \(K\).

3. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

[planches/ex6961] mines PC 2021 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\). Déterminer les éléments propres de \(\pmatrix{a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a}\).

[planches/ex5684] imt PC 2019 Soit \(J=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0}\). Pour \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), on pose \(M(a,b,c)=aI_3+bJ+cJ^2\).

1. Montrer que les matrices \(M(a,b,c)\), pour \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), commutent entre elles.

2. Montrer que \(J\) est diagonalisable. Préciser ses éléments propres.

3. Soit \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\). Montrer que \(M(a,b,c)\) est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.

[concours/ex9788] polytechnique PC 2009

1. La matrice \(J=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ? sur \(\mathbf{C}\) ?

2. La matrice \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right)\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?

[oraux/ex4815] hec courts S 2012 Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des réels non nuls vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\). On pose \(U=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\).

1. 1. Calculer \(M=U{}^tU\).

   2. \(M\) est-elle diagonalisable ?

   3. \(M\) est-elle inversible ?

2. Calculer \(M^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

3. Donner les valeurs propres de \(M\) et les sous-espaces propres associés.

[oraux/ex7751] mines MP 2016 Pour quels nombres réels \(a\) la matrice \(\pmatrix{0&0&a\cr1&0&0\cr1&1&0}\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?