Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4129] imt PC 2018 Soit \(J=\pmatrix{-1&0&1\cr1&1&1\cr0&1&2}\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ?

2. Montrer que \(J\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

3. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

4. On pose \(F:x\mapsto(-1+e^x)J+I_3\). Calculer \(F(x)F(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\).

[planches/ex3426] mines MP 2018 Soit \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\). Étudier le caractère diagonalisable de \[M=\pmatrix{0&a&b\cr-1/a&0&c\cr-1/b&-1/c&0}\] pour \((a,b,c)\in(\mathbf{K}^*)^3\).

[oraux/ex8593] ccp PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{1&0&2\cr1&1&1\cr-1&0&-2}\).

1. Diagonaliser \(A\) (donner \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) et \(D\) diagonale telles que \(A=PDP^{-1}\)).

2. Soit \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\). La matrice \(\alpha A+\beta I_3\) est-elle diagonalisable ?

[examen/ex2428] imt MP 2024 On pose \(A=\pmatrix{1&0&a\cr0&2&0\cr0&0&a}\), où \(a\in\mathbf{R}\). La matrice \(A\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

[concours/ex9973] mines PC 2010 Soient \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\in\mathbf{R}\). On suppose les \(a_i\) distincts et les \(b_i\) strictement positifs. On pose \(M=\left(\begin{array}{ccc}a_1+b_1&b_1&b_1\\b_2&a_2+b_2&b_2\\b_3&b_3&a_3+b_3 \end{array}\right)\). Montrer que \(M\) est diagonalisable.

[ev.algebre/ex2148] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}5&-1&1\\ -1&1&-3\\1&-3&1\end{array}\right)\) ; calculer \(A^n\).

[planches/ex7942] mines MP 2022 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(AB=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\). Montrer que \(BA\) est diagonalisable.

[oraux/ex8601] imt PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{1&0&-1\cr0&2&0\cr-1&0&1}\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

1. Trouver les valeurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Trouver les valeurs propres de \(g=af+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

3. À quelles conditions sur \((a,b)\) l’endomorphisme \(g\) est-il bijectif ?

[concours/ex6647] hec B/L 2008 Soit \(J\) la matrice : \[J=\left(\begin{array}{ccc} 0&2&1\\0&-1&2\\0&1&0\end{array}\right).\]

1. Déterminer les valeurs propres de \(J\).

   La matrice \(J\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer les valeurs de \(a\in\mathbf{R}\) pour que la matrice : \[M_a=\left(\begin{array}{ccc}a^3&2&1\\0&a^3-1&2\\0&1&a^3\end{array}\right)\] soit inversible.

[ev.algebre/ex2199] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).