Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7387] imt PC 2021 Soit \(a>0\). On pose \(A=\pmatrix{0&a&a^2\cr1&0&1\cr1/a&1/a^2&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer ses espaces propres.

[concours/ex0914] centrale MP 1997 Condition nécessaire et suffisante pour que \(\left(\begin{array}{ccc} 1&a&b\\1&a'&b'\\1&a''&b''\end{array}\right)\) soit diagonalisable.

[examen/ex0805] imt PC 2023 Diagonaliser la matrice \(\pmatrix{0&3&2\cr-2&5&2\cr2&-3&0}\) en précisant une matrice de passage.

[planches/ex2311] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{2&0&1\cr1&1&0\cr-1&1&3}\). Réduire la matrice \(A\).

[oraux/ex8592] PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{5&1&-1\cr2&4&-2\cr1&-1&3}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable.

2. Calculer \(A^n\).

3. Soient \(u_0=v_0=w_0=1\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(\cases{u_{n+1}=5u_n+v_n-w_n\cr v_{n+1}=2u_n+4v_n-2w_n\cr w_{n+1}=u_n-v_n+3w_n}\).

   Pour \(n\in\mathbf{N}\), calculer \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\).

[oraux/ex6020] hec E 2014

1. Question de cours : Définition de deux matrices semblables.

   Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est donnée par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right).\] On note \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\) et on pose : \(f^2=f\mathbin{\circ} f\).

2. 1. Montrer que \(2f-f^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

   2. Montrer que l’endomorphisme \(f\) est un automorphisme. Quel est l’automorphisme réciproque de \(f\) ?

   3. Montrer que \(f\) admet l’unique valeur propre \(\lambda=1\). L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

   4. déterminer le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. Quelle est sa dimension ?

3. 1. Calculer pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(A^n\) en fonction de \(n\).

   2. Le résultat précédent s’étend-t-il au cas où \(n\in\mathbf{Z}\) ?

4. Déterminer une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est la matrice \(C=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[planches/ex7315] imt PSI 2021 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\) et \(A=\pmatrix{0&b&c\cr a&0&c\cr a&b&0}\).

1. Calculer le déterminant de \(A\).

2. À quelle condition \(A\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex6647] hec B/L 2008 Soit \(J\) la matrice : \[J=\left(\begin{array}{ccc} 0&2&1\\0&-1&2\\0&1&0\end{array}\right).\]

1. Déterminer les valeurs propres de \(J\).

   La matrice \(J\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer les valeurs de \(a\in\mathbf{R}\) pour que la matrice : \[M_a=\left(\begin{array}{ccc}a^3&2&1\\0&a^3-1&2\\0&1&a^3\end{array}\right)\] soit inversible.

[concours/ex4076] mines M 1990 Résoudre \(AX=B\) avec \[A=\left[\begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\1&0&-1\end{array}\right]\quad\hbox{et}\quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ -2&-2&-2\\1&1&1\end{array}\right].\] Trigonaliser \(A\).

[examen/ex2288] centrale PSI 2024 Soit \(M(a,b,c)=\pmatrix{a&0&c\cr0&b&0\cr c&0&a}\) avec \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(M(a,b,c)\) et son déterminant.

2. Déterminer le noyau et l’image de la matrice.

3. La matrice \(M(a,b,c)\) est-elle diagonalisable ?