Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2185] mines PC 2024 Soit \(a\) un réel. On pose \(g:t\mapsto\displaystyle\frac{a\,e^t}{2-t}\).

1. Montrer qu’il existe une unique valeur de \(a\) pour laquelle il existe une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) soit la fonction génératrice.

   On suppose maintenant que \(a\) est égal à cette valeur et que \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) est la fonction génératrice.

2. Trouver la probabilité que \(X\) soit pair.

3. Quelle est la probabilité que la matrice \(\pmatrix{X&X&0\cr-X&-X&0\cr X&X&0}\) soit diagonalisable ?

[concours/ex9540] centrale MP 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&2\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

3. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

[planches/ex7316] imt PSI 2021 Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension trois, \((e_1,e_2,e_3)\) une base de \(E\). Pour \(a\in\mathbf{C}\), soit \(f_a\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f_a(e_1)=f_a(e_3)=ae_1+e_2-ae_3\) et \(f_a(e_2)=0\).

1. Donner une base de l’image et du noyau de \(f_a\).

2. Donner la matrice de \(f_a\) dans la base \((e_1,e_2,e_3)\).

3. Calculer \(A^2\). Qu’en déduire ?

4. Quelles sont les valeurs propres de \(f_a\) ? Cet endomorphisme est-il inversible ? diagonalisable ?

[examen/ex2288] centrale PSI 2024 Soit \(M(a,b,c)=\pmatrix{a&0&c\cr0&b&0\cr c&0&a}\) avec \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(M(a,b,c)\) et son déterminant.

2. Déterminer le noyau et l’image de la matrice.

3. La matrice \(M(a,b,c)\) est-elle diagonalisable ?

[examen/ex0993] hec S 2024 On considère la matrice : \[A=\pmatrix{-4&-3&-3\cr0&2&0\cr6&3&5}.\] On note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) représenté dans la base canonique par la matrice \(A\).

1. Question de cours : caractérisation des endomorphismes diagonalisables à l’aide des dimensions des sous-espaces propres.

2. 1. Écrire une fonction Python prenant en argument deux vecteurs de taille 3 et renvoyant un booléen (True ou False) indiquant s’ils sont colinéaires. On pourra représenter les vecteurs par des types array.

   2. Écrire une fonction Python prenant en argument un vecteur de taille 3 et renvoyant un booléen indiquant s’il est vecteur propre de \(A\).

3. 1. Vérifier que les vecteurs \((-1,2,0)\), \((0,1,-1)\) et \((1,0,-1)\) sont des vecteurs propres de \(f\).

   2. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

4. 1. Écrire un programme Python permettant de déterminer le nombre de vecteurs propres de \(A\) dont les coefficients sont des entiers compris entre \(-10\) et 10 (bornes incluses).

   2. Pour \(N\) un entier naturel non nul, calculer le nombre de vecteurs propres de \(A\) dont les coefficients sont des entiers compris entre \(-N\) et \(N\) (bornes incluses).

5. Soit \(N\) un entier naturel non nul. Une expérience consiste à choisir au hasard de manière indépendante \(N\) vecteurs à coefficients entiers dans \([[-N,N]]^3\).

   1. Quelle est la probabilité \(p_N\) d’obtenir au moins un vecteur propre de \(A\) parmi ces \(N\) vecteurs ?

   2. Quelle est la limite de \(p_N\) lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\) ?

[planches/ex5583] imt PSI 2019 Soient \(u\), \(v\), \(w\) trois suites vérifiant, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \[u_{n+1}=4u_n-3v_n-3w_n,\quad v_{n+1}=3u_n-2v_n-3w_n,\quad w_{n+1}=3u_n-3v_n-2w_n.\] Exprimer \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) en fonction de \(n\), \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\).

[planches/ex7315] imt PSI 2021 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\) et \(A=\pmatrix{0&b&c\cr a&0&c\cr a&b&0}\).

1. Calculer le déterminant de \(A\).

2. À quelle condition \(A\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex3427] mines MP 2018 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}_+^*\setminus\{1\}\). Réduire la matrice : \[\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ba&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ca\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ab&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_cb\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ac&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_bc&0}.\]

[examen/ex0471] centrale PSI 2023 Soit \(A=\pmatrix{3&-1&2\cr2&0&1\cr1&-1&2}\).

1. Montrer que \(A\) a une valeur propre double \(a>0\) et une simple \(b>0\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(f\) une fonction de \(\mathbf{R}^{+*}\) dans \(\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\). Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P_f\in\mathbf{R}_2[X]\) tel que : \[P_f(a)=f(a),\quad P_f(b)=f(b),\quad P'_f(a)=f'(a).\]

3. Pour toute fonction \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^{+*},\mathbf{R})\), on pose \(f(A)=P_f(A)\). Calculer \(f(A)\) dans les cas où \(f:x\mapsto x^2\), puis \(f:x\mapsto x^3\).

4. Désormais on prend \(f:x\mapsto\displaystyle\frac{1}{x}\). Conjecturer la valeur de \(Af(A)\) et prouver cette conjecture.

[oraux/ex6804] hec S 2016

1. Question de cours : Indiquer pour quels nombres réels les séries \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}x^n\) et \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}nx^{n-1}\) sont convergentes et préciser alors leurs sommes respectives.

   Soit \(a\) un nombre réel strictement positif.

   On note \(M=\pmatrix{1+a&-1&1\cr1+2a&-a-1&1\cr2a&-2a&a}\), \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) est \(M\), et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\).

2. Montrer que \(-a\) est une valeur propre de \(u\) et trouver la dimension du sous-espace propre \(E_{-a}(u)\) associé.

3. On pose : \(f=(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})^2\) (composé de l’endomorphisme \(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) avec lui-même).

   1. Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\).

   2. Montrer que \(E_{-a}(u)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\) sont deux sous-espaces supplémentaires de \(\mathbf{R}^3\).

   3. En déduire un polynôme annulateur de \(u\) de degré 3.

   4. L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?

4. On note \(p\) le projecteur de noyau \(E_{-a}(u)\) et d’image \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\). On pose : \(h=u-ap+a(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)\).

   1. Montrer que \(h^2\) est l’endomorphisme nul.

   2. Établir pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’égalité : \(u^n=a^np+(-a)^n(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)+na^{n-1}h\).

5. On suppose dans cette question que \(0<a<1\).

   Montrer que l’endomorphisme \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u\) est bijectif et que sa réciproque \((\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u)^{-1}\) appartient à l’espace vectoriel \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}},p,h)\).