Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex2198] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\ -1&2&-1\\ -1&1&0 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[planches/ex2311] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{2&0&1\cr1&1&0\cr-1&1&3}\). Réduire la matrice \(A\).

[examen/ex4032] imt MP 2025 Soient \(a>0\) et \(A=\pmatrix{0&-a&a^2\cr1&0&-a\cr1&1&0}\) et \(u=\pmatrix{a\cr0\cr1}\).

1. Calculer \(Au\). Que peut-on en déduire ?

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\). La matrice \(A\) est-elle inversible ?

3. Déterminer le spectre réel de \(A\).

4. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(A\) soit diagonalisable.

[planches/ex3426] mines MP 2018 Soit \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\). Étudier le caractère diagonalisable de \[M=\pmatrix{0&a&b\cr-1/a&0&c\cr-1/b&-1/c&0}\] pour \((a,b,c)\in(\mathbf{K}^*)^3\).

[concours/ex4529] escp S 2005

1. Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\ 0&0&-1\\ 1&-1&-1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0\\ -1&1&0\\ 0&0&2\end{array}\right)\).

   1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs colonnes propres des matrices \(A\) et \(B\).

   2. En déduire les valeurs propres de la matrice \(M(a,b)=\left(\begin{array}{ccc}b&-b& a\\ -b& b& -a\\ a&-a&2b-a\end{array}\right)\), où \(a\) et \(b\) sont deux paramètres réels.

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(\mathbf{R}_n[X]\) l’espace vectoriel constitué des polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égal à \(n\).

   Soit \((a_0,\ldots,a_n)\in\mathbf{R}^{n+1}\) ; on définit l’application \(\theta\) de \(\mathbf{R}_n[X]\) vers \(\mathbf{R}^{n+1}\) par : \(\theta(P)=\bigl(P(a_0),\ldots,P(a_n)\bigr)\).

   1. Montrer que si \(\theta\) est bijective, alors les nombres \(a_0\), … , \(a_n\) sont deux à deux distincts.

   2. Réciproquement, montrer que si les \(a_k\) sont deux à deux distincts, alors \(\theta\) est bijective.

3. 1. Existe-t-il un polynôme \(P\) à coefficients réels tel que \(P(A)=B\) ? Si oui, déterminer un tel polynôme.

   2. Répondre à la même question en échangeant les rôles de \(A\) et \(B\).

[oraux/ex6832] hec B/L 2016 Soit \(E=\mathbf{R}_2[X]\) l”espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.

On note \(\mathscr{B}=(1,X,X^2)\) la base canonique de \(E\) et \(\mathscr{C}=\left(\vphantom{|_|}(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\right)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On pose : \(Q_0=-X^2+1\), \(Q_1=\displaystyle{1\over2}(X^2+X)\) et \(Q_3=\displaystyle{1\over2}(X^2-X)\).

1. Question de cours : Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme.

2. 1. Montrer que \(\mathscr{V}=(Q_0,Q_1,Q_2)\) est une base de \(E\). Donner la matrice de passage \(A\) de \(\mathscr{B}\) vers \(\mathscr{V}\).

   2. Soit \(\Phi\) l’application de \(E\) dans \(\mathbf{R}^3\) définie par : pour tout \(P\in E\), \(\Phi(P)=\left(\vphantom{|_|}P(0),P(1),P(-1)\right)\). Montrer que \(\Phi\) est linéaire et bijective.

   3. Déterminer la matrice \(A^{-1}\).

3. Soit \(\theta\) l’application de \(\mathbf{R}^3\) dans \(E\) définie par : \(\theta(a,b,c)=a+bX+cX^2\).

   1. Montrer que \(\theta\) est une application linéaire bijective.

   2. Donner la matrice de \(\theta\) lorsque \(\mathbf{R}^3\) est muni de sa base canonique \(\mathscr{C}\) et \(E\) de la base \(\mathscr{V}\).

4. On pose : \(\Psi=\Phi\mathbin{\circ}\theta\).

   1. Justifier que \(\Psi\) est un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et donner sa matrice dans la base canonique \(\mathscr{C}\).

   2. Montrer que 1 est valeur propre de \(\Psi\) et donner un vecteur propre associé.

[oraux/ex7777] mines PSI 2016 Déterminer les classes de similitude de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\).

[planches/ex3909] centrale PSI 2018

1. Diagonaliser \(A=\pmatrix{0&-1&0\cr-2&2&-1\cr0&-1&0}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) sans calculer le polynôme caractéristique.

2. Soit \(A=\pmatrix{\lambda&-a&0\cr-\alpha&\mu&-b\cr0&-\beta&\nu}\) avec \(a\alpha>0\) et \(b\beta>0\). Montrer que ses valeurs propres sont réelles et que \(A\) est diagonalisable.

[oraux/ex4671] hec courts S 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

On admet que \(A^2+I_3=2A\) où \(I_3\) désigne la matrice identité d’ordre 3.

1. Montrer que \(A\) admet une seule valeur propre \(\lambda\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le sous-espace associé à \(\lambda\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[concours/ex9807] mines MP 2009 Soit \(M_\lambda=\left(\begin{array}{ccc}-1&-\lambda&-\lambda\\0&-1&1\\ 1&0&-1\end{array}\right)\). Déterminer les espaces propres de \(M_\lambda\) suivant \(\lambda\).