Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0805] imt PC 2023 Diagonaliser la matrice \(\pmatrix{0&3&2\cr-2&5&2\cr2&-3&0}\) en précisant une matrice de passage.

[examen/ex2185] mines PC 2024 Soit \(a\) un réel. On pose \(g:t\mapsto\displaystyle\frac{a\,e^t}{2-t}\).

1. Montrer qu’il existe une unique valeur de \(a\) pour laquelle il existe une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) soit la fonction génératrice.

   On suppose maintenant que \(a\) est égal à cette valeur et que \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) est la fonction génératrice.

2. Trouver la probabilité que \(X\) soit pair.

3. Quelle est la probabilité que la matrice \(\pmatrix{X&X&0\cr-X&-X&0\cr X&X&0}\) soit diagonalisable ?

[planches/ex2708] ccp PSI 2017

1. Déterminer le spectre de la matrice \(A=\pmatrix{6&-4&-3\cr4&-2&-3\cr3&-3&-1}\).

2. Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.

3. Expliciter une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) telle que \(u\) et \(v\) soient des vecteurs propres de \(A\).

4. La matrice \(A\) est-elle trigonalisable ?

[concours/ex9578] ccp PSI 2005 Soit \(\alpha\in[-1,1]\) et \(A_\alpha=\left(\begin{array}{ccc} \alpha^2&\alpha\sqrt{1-\alpha^2}&\sqrt{1-\alpha^2}\\ \alpha\sqrt{1-\alpha^2}&1-\alpha^2&-\alpha\\ \sqrt{1-\alpha^2}&-\alpha&0\end{array}\right)\). Calculer le déterminant, la trace et les valeurs propres réelles de \(A_\alpha\). Cette matrice est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ?

[oraux/ex4687] hec courts E 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&-2\\2&1&-2\\2&2&-3\end{array}\right)\).

1. Calculer \(A^2-I\).

2. \(A\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[concours/ex9621] ccp MP 2006 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&-2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\). Trigonaliser \(A\) en précisant une matrice de passage.

[concours/ex9897] ccp PC 2009 Soit \(J=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&-2\\1&1&1\\1&0&2\end{array}\right)\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ? Montrer que \(J\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.

2. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) et \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M(a,b)\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres. À quelle condition est-elle inversible ?

3. Si \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(F(x)=I_3+(-1+e^x)J\) et \(G(x)=I_3-(1+e^x)J\). Calculer \(F(x)F(y)\) et \(G(x)G(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\). En déduire que \(F(x)\) et \(G(x)\) sont inversibles et déterminer leurs inverses.

[oraux/ex0013] centrale PC 2010 Montrer que \(M=\left(\begin{array}{ccc}6&-6&5\\14&-13&10\\ 7&-6&4\end{array}\right)\) et \(N=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\1&-1&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)\) sont semblables.

[planches/ex5687] imt PC 2019 Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c,d,e)\in\mathbf{R}^5\) pour que la matrice \(A=\pmatrix{a&b&c\cr0&a&d\cr0&0&e}\) soit diagonalisable.

Indication : Distinguer \(a=e\) et \(a\neq e\).

[concours/ex9807] mines MP 2009 Soit \(M_\lambda=\left(\begin{array}{ccc}-1&-\lambda&-\lambda\\0&-1&1\\ 1&0&-1\end{array}\right)\). Déterminer les espaces propres de \(M_\lambda\) suivant \(\lambda\).