Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9540] centrale MP 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&2\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

3. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

[planches/ex7315] imt PSI 2021 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\) et \(A=\pmatrix{0&b&c\cr a&0&c\cr a&b&0}\).

1. Calculer le déterminant de \(A\).

2. À quelle condition \(A\) est-elle diagonalisable ?

[examen/ex4138] imt PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{1&a&b\cr0&1&c\cr0&0&-1}\).

1. Calculer le spectre de \(A\) et son polynôme caractéristique.

2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \(a\), \(b\), \(c\), pour que \(A\) soit diagonalisable.

[oraux/ex6848] hec courts E 2016 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est : \(A=\pmatrix{-1&1&1\cr0&0&2\cr1&-1&1}\).

1. Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\) et une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f\).

2. On admet sans démonstration que \(A^3=0\). Soit \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par \(M=\pmatrix{0&1&1\cr0&1&2\cr1&-1&2}\).

   1. Quelles sont les valeurs propres de \(M\) ? \(M\) est-elle diagonalisable ?

   2. Justifier que \(M\) est inversible et exprimer \(M^{-1}\) en fonction de \(A\) et de \(I\) (matrice identité de \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\)).

[oraux/ex6804] hec S 2016

1. Question de cours : Indiquer pour quels nombres réels les séries \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}x^n\) et \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}nx^{n-1}\) sont convergentes et préciser alors leurs sommes respectives.

   Soit \(a\) un nombre réel strictement positif.

   On note \(M=\pmatrix{1+a&-1&1\cr1+2a&-a-1&1\cr2a&-2a&a}\), \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) est \(M\), et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\).

2. Montrer que \(-a\) est une valeur propre de \(u\) et trouver la dimension du sous-espace propre \(E_{-a}(u)\) associé.

3. On pose : \(f=(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})^2\) (composé de l’endomorphisme \(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) avec lui-même).

   1. Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\).

   2. Montrer que \(E_{-a}(u)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\) sont deux sous-espaces supplémentaires de \(\mathbf{R}^3\).

   3. En déduire un polynôme annulateur de \(u\) de degré 3.

   4. L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?

4. On note \(p\) le projecteur de noyau \(E_{-a}(u)\) et d’image \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\). On pose : \(h=u-ap+a(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)\).

   1. Montrer que \(h^2\) est l’endomorphisme nul.

   2. Établir pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’égalité : \(u^n=a^np+(-a)^n(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)+na^{n-1}h\).

5. On suppose dans cette question que \(0<a<1\).

   Montrer que l’endomorphisme \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u\) est bijectif et que sa réciproque \((\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u)^{-1}\) appartient à l’espace vectoriel \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}},p,h)\).

[planches/ex5031] mines PSI 2019 Pour \(c\in\mathbf{R}\), on note \(A(c)=\pmatrix{-c&-1&c\cr-1&1-c&1\cr c&-1&-c}\).

1. Déterminer les réels \(c\) tels que \(A(c)\) ne soit pas diagonalisable.

2. Soit \(d\) la plus petite de ces valeurs. Trouver \(P\) inversible telle que \(P^{-1}A(d)P\) soit triangulaire.

[concours/ex9973] mines PC 2010 Soient \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\in\mathbf{R}\). On suppose les \(a_i\) distincts et les \(b_i\) strictement positifs. On pose \(M=\left(\begin{array}{ccc}a_1+b_1&b_1&b_1\\b_2&a_2+b_2&b_2\\b_3&b_3&a_3+b_3 \end{array}\right)\). Montrer que \(M\) est diagonalisable.

[examen/ex4032] imt MP 2025 Soient \(a>0\) et \(A=\pmatrix{0&-a&a^2\cr1&0&-a\cr1&1&0}\) et \(u=\pmatrix{a\cr0\cr1}\).

1. Calculer \(Au\). Que peut-on en déduire ?

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\). La matrice \(A\) est-elle inversible ?

3. Déterminer le spectre réel de \(A\).

4. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(A\) soit diagonalisable.

[concours/ex0168] mines MP 1996 Soit la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\2&1&3\\0&0&2\end{array}\right)\).

1. Trouver le polynôme caractéristique, les valeurs propres de \(A\).

2. Exprimer, pour \(\lambda\) tel que \(A-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) est inversible, \((A-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})^{-1}\) comme combinaison linéaire de \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), \(A\), \(A^2\).

[examen/ex0806] imt PC 2023 Soit \(A=\pmatrix{0&3&2\cr-2&5&2\cr2&-2&0}\). Étudier la diagonalisabilité de \(A\).