Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7315] imt PSI 2021 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\) et \(A=\pmatrix{0&b&c\cr a&0&c\cr a&b&0}\).

1. Calculer le déterminant de \(A\).

2. À quelle condition \(A\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex2311] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{2&0&1\cr1&1&0\cr-1&1&3}\). Réduire la matrice \(A\).

[examen/ex1894] mines PSI 2024 Soit \(A=\pmatrix{-1&1&1\cr0&5&-14\cr0&-3&-8}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer qu’il existe un unique \((\alpha_n,\beta_n,\gamma_n)\in\mathbf{R}^3\) et un unique \(Q_n\in\mathbf{R}[X]\) tels que \(X^n=(X+1)^2(X+2)Q_n(X)+\alpha_n(X+2)+\beta_n (X+1)(X+2)+\gamma_n(X+1)^2\).

3. Déterminer \(A^n\).

[oraux/ex8601] imt PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{1&0&-1\cr0&2&0\cr-1&0&1}\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

1. Trouver les valeurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Trouver les valeurs propres de \(g=af+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

3. À quelles conditions sur \((a,b)\) l’endomorphisme \(g\) est-il bijectif ?

[concours/ex4529] escp S 2005

1. Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\ 0&0&-1\\ 1&-1&-1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0\\ -1&1&0\\ 0&0&2\end{array}\right)\).

   1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs colonnes propres des matrices \(A\) et \(B\).

   2. En déduire les valeurs propres de la matrice \(M(a,b)=\left(\begin{array}{ccc}b&-b& a\\ -b& b& -a\\ a&-a&2b-a\end{array}\right)\), où \(a\) et \(b\) sont deux paramètres réels.

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(\mathbf{R}_n[X]\) l’espace vectoriel constitué des polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égal à \(n\).

   Soit \((a_0,\ldots,a_n)\in\mathbf{R}^{n+1}\) ; on définit l’application \(\theta\) de \(\mathbf{R}_n[X]\) vers \(\mathbf{R}^{n+1}\) par : \(\theta(P)=\bigl(P(a_0),\ldots,P(a_n)\bigr)\).

   1. Montrer que si \(\theta\) est bijective, alors les nombres \(a_0\), … , \(a_n\) sont deux à deux distincts.

   2. Réciproquement, montrer que si les \(a_k\) sont deux à deux distincts, alors \(\theta\) est bijective.

3. 1. Existe-t-il un polynôme \(P\) à coefficients réels tel que \(P(A)=B\) ? Si oui, déterminer un tel polynôme.

   2. Répondre à la même question en échangeant les rôles de \(A\) et \(B\).

[planches/ex7429] escp S 2022

1. Soit \(\mathcal{E}\) l’ensemble des suites réelles \((u_p)_{p \in \mathbb{N}}\) vérifiant la relation \[\forall p \in \mathbb{N},\quad u_{p+3} = 4\,u_{p+2} -5 u_{p+1} + 2u_p\]

   1. Montrer que \(\mathcal{E}\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(3\).

   2. Vérifier que la suite \((p)_{p \in \mathbb{N}}\) appartient à \(\mathcal{E}\).

   3. Déterminer les suites géométriques appartenant à \(\mathcal{E}\).

   4. En déduire l’expression des suites appartenant à \(\mathcal{E}\).

2. Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice dans la base canonique \[A = \pmatrix{7&3&-4 \cr -6&-2&5 \cr 4&2&-1}\]

   1. Vérifier que \(1\) et \(2\) sont valeurs propres de \(A\).

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?

   3. Justifier que \(A\) est semblable à \[T = \pmatrix{1&1&0 \cr 0&1&0 \cr 0&0&2}\]

   4. En déduire que le polynôme \(\, P(X) = (X-1)^2(X-2) \,\) est annulateur de \(A\).

3. 1. Justifier que \[\forall p \in \mathbb{N}\,,\; \exists (a_p,b_p,c_p) \in \mathbb{R}^3,\quad A^p = a_p\,A^2 + b_p\,A + c_p\,I_3\] où \(A\) a été définie dans la question précédente.

   2. Montrer que \((a_p)_{p \in \mathbb{N}} \in \mathcal{E}\).

   3. Expliciter \(A^p\) en fonction de \(A^2\), \(A\), \(I_3\).

   4. La matrice \(A\) est-elle inversible? Si oui, expliciter son inverse.

[concours/ex9105] hec courts E 2010 On note \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base \(\mathscr{B}\) est \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).

Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\), \(f(e_2)\), \(f(-e_1+e_3)\).

Montrer que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)\).

\(M\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex7942] mines MP 2022 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(AB=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\). Montrer que \(BA\) est diagonalisable.

[oraux/ex8670] PC 2016 Soit \(A=\displaystyle{1\over3}\pmatrix{a&a+1&2\cr a+1&-2&a\cr-2&-a&a+1}\). Préciser les valeurs de \(a\) pour lesquelles cette matrice est orthogonale. Déterminer alors les valeurs propres.

[concours/ex5039] escp B/L 2000 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&1&1\\0&-1&1\end{array}\right)\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\).

1. Déterminer les éléments propres de la matrice \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que la matrice \(A\) est semblable à la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).