Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex4138] imt PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{1&a&b\cr0&1&c\cr0&0&-1}\).

1. Calculer le spectre de \(A\) et son polynôme caractéristique.

2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \(a\), \(b\), \(c\), pour que \(A\) soit diagonalisable.

[concours/ex4436] escp S 2006 On note \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On note \({\cal F}\) l’ensemble des éléments \(M\) de \(E\) tels que si \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\), alors \(m_{1,2}=m_{1,3}=m_{2,1}=0\).

1. Montrer que \({\cal F}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et donner sa dimension.

2. Soit \(A\in E\) de rang égal à \(1\). On note \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

   1. On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u=\{0\}\). Montrer que \(A\) est semblable à un élément de \({\cal F}\).

   2. On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\neq \{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u \subset \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\). En déduire que \(A\) est encore semblable à un élément de \({\cal F}\).

3. On suppose que \(A\in E\) est de rang \(2\). On note \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

   1. On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u=\{0\}\). Montrer que \(A\) est semblable à un élément de \({\cal F}\).

   2. On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\neq \{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u \subset \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\). Soit alors \(x\) un vecteur non nul de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\) et \(y\) tel que \(x=u(y)\). En utilisant ces deux vecteurs, montrer que \(A\) est encore semblable à un élément de \({\cal F}\).

4. Soit \(A\in E\) admettant une valeur propre réelle. Montrer que \(A\) est semblable à un élément de \({\cal F}\).

[planches/ex2451] centrale MP 2017 (avec Python)

Soit, pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), \(M_{a,b}\) la matrice \(M_{a,b}=\pmatrix{3a+b&-4a-b&2a\cr2a+b&-3a-b&2a\cr b&-b&a}\). On pose \[F=\{M_{a,b},\ (a,b)\in\mathbf{C}^2\}\] et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(R_n=\{(a,b)\in\mathbf{C}^2,\ (M_{a,b})^n=I_3\}\).

1. Programmer la fonction \(m(a,b)\) qui renvoie la matrice \(M_{a,b}\).

2. Calculer les produits \(M_{0,1}M_{1,0}\), \(M_{1,0}M_{0,1}\), \(M_{0,1}^2\), \(M_{1,0}^2\).

3. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel. Est-ce une sous-algèbre ?

4. Déterminer la plus petite sous-algèbre contenant \(F\). Quelle est sa dimension ? Est-elle commutative ?

5. Déterminer les éléments de \(R_n\).

6. Montrer que si \(M_{a,b}\) est diagonalisable alors \(bM_{0,1}\) aussi. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M_{a,b}\) soit diagonalisable.

[oraux/ex6020] hec E 2014

1. Question de cours : Définition de deux matrices semblables.

   Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est donnée par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right).\] On note \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\) et on pose : \(f^2=f\mathbin{\circ} f\).

2. 1. Montrer que \(2f-f^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

   2. Montrer que l’endomorphisme \(f\) est un automorphisme. Quel est l’automorphisme réciproque de \(f\) ?

   3. Montrer que \(f\) admet l’unique valeur propre \(\lambda=1\). L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

   4. déterminer le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. Quelle est sa dimension ?

3. 1. Calculer pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(A^n\) en fonction de \(n\).

   2. Le résultat précédent s’étend-t-il au cas où \(n\in\mathbf{Z}\) ?

4. Déterminer une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est la matrice \(C=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[examen/ex4144] imt PSI 2025 On considère \(A=\pmatrix{-1&4&0\cr0&1&0\cr1&0&3}\).

1. Déterminer le spectre de \(A\). Montrer que \(A\) est semblable à une matrice diagonale \(D\) que l’on explicitera.

2. Montrer que toute matrice commutant avec \(D\) est une matrice diagonale.

3. Soit \(P(X)=X^7+X+1\). Identifier les matrices \(M\) telles que \(P(M)=A\).

[planches/ex2707] ccp PSI 2017 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\), \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\) et \(M=\pmatrix{a+b&c&b\cr c&a+2b&c\cr b&c&a+b}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) en fonction des puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\). En déduire, pour \(k\in\mathbf{N}\), la valeur de \(M^k\).

[oraux/ex8670] PC 2016 Soit \(A=\displaystyle{1\over3}\pmatrix{a&a+1&2\cr a+1&-2&a\cr-2&-a&a+1}\). Préciser les valeurs de \(a\) pour lesquelles cette matrice est orthogonale. Déterminer alors les valeurs propres.

[planches/ex5583] imt PSI 2019 Soient \(u\), \(v\), \(w\) trois suites vérifiant, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \[u_{n+1}=4u_n-3v_n-3w_n,\quad v_{n+1}=3u_n-2v_n-3w_n,\quad w_{n+1}=3u_n-3v_n-2w_n.\] Exprimer \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) en fonction de \(n\), \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\).

[concours/ex9067] escp B/L 2010 On considère la matrice \(A= \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)\) et l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbf{R}^3\) qui lui est canoniquement associé.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. 1. Démontrer que les deux sous-espaces vectoriels \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-Id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\smash{(f-3Id)^2}\right)\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\).

   2. En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[T=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).\]

3. Calculer \(T^n\) pour \(n\) entier naturel non nul. En déduire \(A^n\).

4. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, donner l’expression de \((A^{-1})^n\) pour \(n \in \mathbf{N}^*\).

[examen/ex0993] hec S 2024 On considère la matrice : \[A=\pmatrix{-4&-3&-3\cr0&2&0\cr6&3&5}.\] On note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) représenté dans la base canonique par la matrice \(A\).

1. Question de cours : caractérisation des endomorphismes diagonalisables à l’aide des dimensions des sous-espaces propres.

2. 1. Écrire une fonction Python prenant en argument deux vecteurs de taille 3 et renvoyant un booléen (True ou False) indiquant s’ils sont colinéaires. On pourra représenter les vecteurs par des types array.

   2. Écrire une fonction Python prenant en argument un vecteur de taille 3 et renvoyant un booléen indiquant s’il est vecteur propre de \(A\).

3. 1. Vérifier que les vecteurs \((-1,2,0)\), \((0,1,-1)\) et \((1,0,-1)\) sont des vecteurs propres de \(f\).

   2. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

4. 1. Écrire un programme Python permettant de déterminer le nombre de vecteurs propres de \(A\) dont les coefficients sont des entiers compris entre \(-10\) et 10 (bornes incluses).

   2. Pour \(N\) un entier naturel non nul, calculer le nombre de vecteurs propres de \(A\) dont les coefficients sont des entiers compris entre \(-N\) et \(N\) (bornes incluses).

5. Soit \(N\) un entier naturel non nul. Une expérience consiste à choisir au hasard de manière indépendante \(N\) vecteurs à coefficients entiers dans \([[-N,N]]^3\).

   1. Quelle est la probabilité \(p_N\) d’obtenir au moins un vecteur propre de \(A\) parmi ces \(N\) vecteurs ?

   2. Quelle est la limite de \(p_N\) lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\) ?