Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6254] hec courts E 2015 Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des réels non nuls vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\). On pose : \(U=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\).

1. 1. Calculer la matrice \(M=U{}^tU\) (où \({}^tU\) est la matrice transposée de la matrice-colonne \(U\)).

   2. \(M\) est-elle diagonalisable ? inversible ?

2. 1. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), calculer \(M^n\).

   2. Quelles sont les valeurs propres de \(M\) est les sous-espaces propres associés ?

[examen/ex0810] PC 2023 Soient \(J=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0}\) et \(M=\pmatrix{x&z&y\cr y&x&z\cr z&y&x}\). Calculer \(J^2\) et \(J^3\). Exprimer \(M\) à l’aide de \(J\), \(J^2\) et \(J^3\). Montrer que \(J\) est diagonalisable. Qu’en est-il de \(M\) ?

[concours/ex5595] mines MP 2007 Soit \(j=e^{2i\pi/3}\). La matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&j&j^2\\j&j^2&1\\j^2&1&j\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex4066] ccp PSI 2018

1. Diagonaliser \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

2. Écrire \(M=\pmatrix{a&c&b\cr c&a+b&c\cr b&c&a}\) à l’aide de puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\) et calculer \(M^n\).

[concours/ex9454] mines 2004 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) est diagonalisable sur \(\mathbf{C}\).

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?