Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex3909] centrale PSI 2018

1. Diagonaliser \(A=\pmatrix{0&-1&0\cr-2&2&-1\cr0&-1&0}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) sans calculer le polynôme caractéristique.

2. Soit \(A=\pmatrix{\lambda&-a&0\cr-\alpha&\mu&-b\cr0&-\beta&\nu}\) avec \(a\alpha>0\) et \(b\beta>0\). Montrer que ses valeurs propres sont réelles et que \(A\) est diagonalisable.

[oraux/ex0037] ccp PC 2010 Déterminer pour quels \(z\in\mathbf{C}\) la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&z\\1&0&0\\1&0&0\end{array}\right)\) est diagonalisable.

[ev.algebre/ex2148] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}5&-1&1\\ -1&1&-3\\1&-3&1\end{array}\right)\) ; calculer \(A^n\).

[planches/ex4130] ccp PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&5/4&2\cr2&0&-2\cr0&3/4&2}\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. En déduire l’ensemble \(\{M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R}),\ AM=MA\}\).

[ev.algebre/ex2197] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&-4\\ -2&1&2\\ -2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).