Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex2298] Vrai ou faux ?

La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&3\\0&0&2\end{array}\right)\) est diagonalisable.

[oraux/ex6804] hec S 2016

1. Question de cours : Indiquer pour quels nombres réels les séries \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}x^n\) et \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}nx^{n-1}\) sont convergentes et préciser alors leurs sommes respectives.

   Soit \(a\) un nombre réel strictement positif.

   On note \(M=\pmatrix{1+a&-1&1\cr1+2a&-a-1&1\cr2a&-2a&a}\), \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) est \(M\), et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\).

2. Montrer que \(-a\) est une valeur propre de \(u\) et trouver la dimension du sous-espace propre \(E_{-a}(u)\) associé.

3. On pose : \(f=(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})^2\) (composé de l’endomorphisme \(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) avec lui-même).

   1. Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\).

   2. Montrer que \(E_{-a}(u)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\) sont deux sous-espaces supplémentaires de \(\mathbf{R}^3\).

   3. En déduire un polynôme annulateur de \(u\) de degré 3.

   4. L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?

4. On note \(p\) le projecteur de noyau \(E_{-a}(u)\) et d’image \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\). On pose : \(h=u-ap+a(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)\).

   1. Montrer que \(h^2\) est l’endomorphisme nul.

   2. Établir pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’égalité : \(u^n=a^np+(-a)^n(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)+na^{n-1}h\).

5. On suppose dans cette question que \(0<a<1\).

   Montrer que l’endomorphisme \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u\) est bijectif et que sa réciproque \((\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u)^{-1}\) appartient à l’espace vectoriel \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}},p,h)\).

[planches/ex4129] imt PC 2018 Soit \(J=\pmatrix{-1&0&1\cr1&1&1\cr0&1&2}\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ?

2. Montrer que \(J\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

3. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

4. On pose \(F:x\mapsto(-1+e^x)J+I_3\). Calculer \(F(x)F(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\).

[concours/ex9087] hec courts S 2010

1. La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

2. soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3 et \(u\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(u^2\) soit un projecteur de rang égal à 1.

   1. Montrer que 0 est valeur propre de \(u\) et que \(u\) possède au plus une autre valeur propre, égale à \(+1\) ou à \(-1\).

   2. Montrer que, si \(u\) admet 1 pour valeur propre et n’est pas lui-même un projecteur, il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est \(A\).

[planches/ex8705] hec B/L 2022 On note \(E\) l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2. On définit les fonctions \(e_0\), \(e_1\), \(e_2\) par : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad e_0(t)=1,\quad e_1(t)=t\quad\hbox{et}\quad e_2(t)=t^2.\] On rappelle que la famille \((e_0,e_1,e_2)\) est une base de \(E\). On considère l’application \(\varphi\) qui, à toute fonction \(P\) de \(E\), associe la fonction, notée \(\varphi(P)\), définie par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\varphi(P)(x)=\int_0^1P(x+t)\,dt.\]

1. Question de cours : Critère d’inversibilité d’une matrice triangulaire.

2. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\).

3. 1. Écrire la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base \((e_0,e_1,e_2)\).

   2. Justifier que \(\varphi\) est un automorphisme de \(E\).

   3. L’endomorphisme \(\varphi\) est-il diagonalisable ?

4. 1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), il existe un réel \(u_n\) tel que : \[A^n=\pmatrix{1&n/2&u_n\cr0&1&n\cr0&0&1}.\] Donner \(u_0\) et exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).

   2. En déduire, par sommation, l’expression de \(u_n\) pour tout entier \(n\).