Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2033] mines PC 2024 Soit \(\alpha\in\mathbb{C}\). La matrice \(M=\pmatrix{1&\alpha&0\cr\alpha&0&1\cr0&1&-1}\) est-elle diagonalisable ?

[ev.algebre/ex2199] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[planches/ex7316] imt PSI 2021 Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension trois, \((e_1,e_2,e_3)\) une base de \(E\). Pour \(a\in\mathbf{C}\), soit \(f_a\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f_a(e_1)=f_a(e_3)=ae_1+e_2-ae_3\) et \(f_a(e_2)=0\).

1. Donner une base de l’image et du noyau de \(f_a\).

2. Donner la matrice de \(f_a\) dans la base \((e_1,e_2,e_3)\).

3. Calculer \(A^2\). Qu’en déduire ?

4. Quelles sont les valeurs propres de \(f_a\) ? Cet endomorphisme est-il inversible ? diagonalisable ?

[planches/ex2707] ccp PSI 2017 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\), \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\) et \(M=\pmatrix{a+b&c&b\cr c&a+2b&c\cr b&c&a+b}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) en fonction des puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\). En déduire, pour \(k\in\mathbf{N}\), la valeur de \(M^k\).

[ev.algebre/ex2193] Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\), muni de la base \(\mathscr{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}\), dont la matrice dans \(\mathscr{B}\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 3&-2&-1\\2&-1&-2\\ -2&2&4\end{array}\right).\]

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(u\).

2. Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).