Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex6348] hec courts E 2021 Soit \(a \in \mathbf{R}\). On note : \[A =\pmatrix{2 & 0 & 4\cr3 & -4 & 12\cr1 & -2 & 5},\qquad A_0 =\pmatrix{2+a & 0 & 4\cr3 & -4+a & 12\cr1 & -2 & 5+a}\qquad \hbox{et} \qquad P =\pmatrix{2 & -4 & -4\cr1 & 0 & 3\cr0 & 1 & 2}\]

1. Calculer \(AP\).

2. \(A\) est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ? Donner une matrice semblable à \(A\).

3. Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\), \(A_a\) est-elle diagonalisable ? Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\), \(A_a\) est-elle inversible ?

[planches/ex5177] mines PC 2019 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à la matrice \(A=\pmatrix{1&0&1\cr-1&2&1\cr1&-1&1}\).

1. Montrer que \(f\) est trigonalisable dans \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que l’espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1 et contient le vecteur \(u={}^t(1,1,0)\).

3. On pose \(v={}^t(0,0,1)\). Calculer \((f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})(v)\).

4. Déterminer un vecteur propre \(w\in\mathbf{R}^3\) de l’endomorphisme \(f\) associé à la valeur propre 2 et montrer que la famille \((u,v,w)\) est une base de \(\mathbf{R}^3\).

5. Calculer, pour \(k\in\mathbf{N}\), \(f_k(v)\) et en déduire \(T^k\) où \(T\) désigne la matrice de \(f\) dans la base \((u,v,w)\).

6. Calculer \(A^k\) pour \(k\in\mathbf{N}\).

[oraux/ex8600] imt PSI 2016 Soient \(a\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{1&-1&a\cr0&2&0\cr0&0&a}\). Déterminer le rang de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Pour \(a=1\), calculer \(A^n\).

[ev.algebre/ex2198] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\ -1&2&-1\\ -1&1&0 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[ev.algebre/ex2210] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&6\\ -1&0&2\\1&2&2\end{array}\right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. En déduire, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), une expression de \(A^n\) en fonction de \(n\).