Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6804] hec S 2016

1. Question de cours : Indiquer pour quels nombres réels les séries \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}x^n\) et \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}nx^{n-1}\) sont convergentes et préciser alors leurs sommes respectives.

   Soit \(a\) un nombre réel strictement positif.

   On note \(M=\pmatrix{1+a&-1&1\cr1+2a&-a-1&1\cr2a&-2a&a}\), \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) est \(M\), et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\).

2. Montrer que \(-a\) est une valeur propre de \(u\) et trouver la dimension du sous-espace propre \(E_{-a}(u)\) associé.

3. On pose : \(f=(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})^2\) (composé de l’endomorphisme \(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) avec lui-même).

   1. Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\).

   2. Montrer que \(E_{-a}(u)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\) sont deux sous-espaces supplémentaires de \(\mathbf{R}^3\).

   3. En déduire un polynôme annulateur de \(u\) de degré 3.

   4. L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?

4. On note \(p\) le projecteur de noyau \(E_{-a}(u)\) et d’image \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\). On pose : \(h=u-ap+a(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)\).

   1. Montrer que \(h^2\) est l’endomorphisme nul.

   2. Établir pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’égalité : \(u^n=a^np+(-a)^n(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)+na^{n-1}h\).

5. On suppose dans cette question que \(0<a<1\).

   Montrer que l’endomorphisme \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u\) est bijectif et que sa réciproque \((\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u)^{-1}\) appartient à l’espace vectoriel \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}},p,h)\).

[planches/ex2311] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{2&0&1\cr1&1&0\cr-1&1&3}\). Réduire la matrice \(A\).

[oraux/ex8670] PC 2016 Soit \(A=\displaystyle{1\over3}\pmatrix{a&a+1&2\cr a+1&-2&a\cr-2&-a&a+1}\). Préciser les valeurs de \(a\) pour lesquelles cette matrice est orthogonale. Déterminer alors les valeurs propres.

[planches/ex5337] centrale MP 2019 (avec Python)

Pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), soit \(M_{a,b}=\pmatrix{3a+2b&-4a-b&2a\cr2a+b&-3a-b&2a\cr b&-b&a}\).

On définit \(E=\{M_{a,b}\ ;\ (a,b)\in\mathbf{C}^2\}\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(R_n=\{M\in E\ ;\ M^n=I_3\}\).

1. Calculer \(M_{1,0}M_{0,1}\), \(M_{0,1}M_{1,0}\), \(M_{0,1}^2\) et \(M_{1,0}^2\).

2. Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\). Est-ce une sous-algèbre de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

3. Déterminer \(R_n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

4. Trouver \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{C})\) telle que \(P^{-1}M_{1,0}P\) soit diagonale et \(P^{-1}M_{1,0}P\) triangulaire supérieure.

5. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), calculer \(PM_{a,b}^nP^{-1}\) et retrouver \(R_n\).

[concours/ex0168] mines MP 1996 Soit la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\2&1&3\\0&0&2\end{array}\right)\).

1. Trouver le polynôme caractéristique, les valeurs propres de \(A\).

2. Exprimer, pour \(\lambda\) tel que \(A-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) est inversible, \((A-\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})^{-1}\) comme combinaison linéaire de \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), \(A\), \(A^2\).