Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6038] escp S 2014 On note \(I_3\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe un unique \(\alpha\in \mathbf{R}\) telle que la matrice \(J_\alpha=\pmatrix{\alpha& 0& 1\cr 1&1&1\cr {-2}&0&{-1}}\) soit une matrice de projecteur.

   On suppose désormais que \(\alpha\) prend cette valeur et on note \(J\) la matrice associée.

2. Pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on pose \(F (x) = I_3 + (-1 + e^x )J\) et \(G(x) = I_3 - (1 + e^x )J\).

   Calculer, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(F (x)F (y)\).

   La matrice \(F(x)\) est-elle inversible ?

   La matrice \(G(x)\) est-elle inversible ?

3. Déterminer les éléments propres de \(J\).

4. Pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), on pose \(M_{a,b} = aI_3 + bJ\). Montrer qu’il existe une matrice \(P\) inversible telle que, pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), la matrice \(\Delta_{a,b}=P^{-1} M_{a,b} P\) soit une matrice diagonale que l’on explicitera.

5. Montrer que si \(M_{a,b}\) est inversible, alors : \[\exists x \in \mathbf{R},\ M_{a,b} = aF(x) \hbox{ ou } M_{a,b} = aG(x).\] Dans ce cas, calculer \(M_{a,b}^{-1}\) en fonction de \(a\), \(b\), \(J\) et \(I_3\).

6. On pose : \(\mathscr{C}_{a,b}=\{A\in \mathscr{M}_3(\mathbf{R})\ / \ AM_{a,b}=M_{a,b}A\}\).

   On suppose que \(M_{a,b}\) est inversible.

   Montrer que l’ensemble \(\mathscr{C}_{a,b}\) est un espace vectoriel et déterminer sa dimension.

[oraux/ex5806] ccp PSI 2012 Soient \(z\in \mathbf{C}\) et \(A(z)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&z\\1&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(A(z)\) est diagonalisable sauf pour une valeur particulière de \(z\) que l’on précisera.

2. Soit \(\theta\in \mathbf{R}\setminus 2\pi\mathbf{Z}\). Montrer qu’il existe un unique \(z\in\mathbf{C}\) pour lequel \(e^{i\theta}\) est valeur propre de \(A(z)\). Déterminer cette valeur \(z(\theta)\) et calculer son module.

3. Tracer la courbe polaire \(\rho=|z(\theta)|\).

[planches/ex5177] mines PC 2019 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à la matrice \(A=\pmatrix{1&0&1\cr-1&2&1\cr1&-1&1}\).

1. Montrer que \(f\) est trigonalisable dans \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que l’espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1 et contient le vecteur \(u={}^t(1,1,0)\).

3. On pose \(v={}^t(0,0,1)\). Calculer \((f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})(v)\).

4. Déterminer un vecteur propre \(w\in\mathbf{R}^3\) de l’endomorphisme \(f\) associé à la valeur propre 2 et montrer que la famille \((u,v,w)\) est une base de \(\mathbf{R}^3\).

5. Calculer, pour \(k\in\mathbf{N}\), \(f_k(v)\) et en déduire \(T^k\) où \(T\) désigne la matrice de \(f\) dans la base \((u,v,w)\).

6. Calculer \(A^k\) pour \(k\in\mathbf{N}\).

[concours/ex9456] mines 2004 Diagonaliser \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

[planches/ex5031] mines PSI 2019 Pour \(c\in\mathbf{R}\), on note \(A(c)=\pmatrix{-c&-1&c\cr-1&1-c&1\cr c&-1&-c}\).

1. Déterminer les réels \(c\) tels que \(A(c)\) ne soit pas diagonalisable.

2. Soit \(d\) la plus petite de ces valeurs. Trouver \(P\) inversible telle que \(P^{-1}A(d)P\) soit triangulaire.