Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8602] ensea PSI 2016 Soient \((x,y,z)\in\mathbf{C}^3\setminus\{0\}\) et \[M=\pmatrix{x^2&xy&xz\cr xy&y^2&yz\cr xz&yz&z^2}.\]

1. Montrer qu’il existe \(C\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{C})\) tel que \(M=CC^T\).

2. Déterminer le rang de \(M\).

3. Montrer que \(M\) est semblable à une matrice de la forme \(N=\pmatrix{a&0&0\cr b&0&0\cr c&0&0}\) avec \((a,b,c)\neq(0,0,0)\). Expliciter \(a\) en fonction de \(x\), \(y\) et \(z\).

4. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M\) soit diagonalisable.

[ev.algebre/ex2147] Diagonaliser la matrice \(M\) de l’endomorphisme \(f\) : \[M=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right).\]

[concours/ex0009] polytechnique MP 1996 Diagonaliser \[\left(\begin{array}{ccc}m&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{array}\right)\,.\]

[ev.algebre/ex0995] Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&a&a^2\\ \displaystyle{1\over a}\vphantom{\displaystyle1\over a_|}&0&a\\\displaystyle{1\over a^2}&\displaystyle{1\over a}&0\end{array}\right)\). Calculer \(M^n\), pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

[concours/ex9834] mines PC 2009 Soit, pour \(z\in\mathbf{C}\), \(M_z=\left(\begin{array}{ccc}0&0&z\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\). Montrer que \(M_z\) est diagonalisable sauf pour deux valeurs de \(z\).