Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex3547] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&-3&5\cr-1&-2&5\cr-1&-3&6}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), il existe des réels \(a_n\) et \(b_n\) tels que \(A^n=a_nI_3+b_nA\).

3. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Le résultat de la question précédente reste-t-il valable pour tout \(n\in\mathbf{Z}\) ?

4. Existe-t-il \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(M=\alpha I_3+\beta A\) et \(M^2=A\) ?

[planches/ex2297] mines PC 2017

1. Soit \(A=\pmatrix{-4&-6&0\cr3&-5&0\cr3&6&-5}\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

2. Soient \((u_n)_{n\geqslant 0}\), \((v_n)_{n\geqslant 0}\), \((w_n)_{n\geqslant 0}\) trois suites vérifiant, pour tout \(n\) dans \(\mathbf{N}\), \[u_{n+1}=-4u_n-6v_n,\quad v_{n+1}=3u_n-5v_n,\quad w_{n+1}=3u_n+6v_n-5w_n.\] Exprimer \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\) et \(n\).

[examen/ex4143] imt PSI 2025 Soit \(f\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) tel que \(f^3+f^2+f=0\). On suppose que \(f\) n’admet aucun polynôme annulateur non nul de degré inférieur ou égal à 2.

1. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(f)=2\).

3. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(f)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) puis que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).

4. Soit \(x\) non nul dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\). Montrer que la famille \((x,f(x))\) est libre.

5. Montrer qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle \(f\) a pour matrice \(\pmatrix{0&0&0\cr0&0&-1\cr0&1&-1}\).

[planches/ex5518] tpe MP 2019 Montrer de deux manières différentes que \(\pmatrix{0&1&2\cr1&0&1\cr1&0&0}\) et \(\pmatrix{0&1&1\cr1&0&2\cr0&1&0}\) sont semblables.

[ev.algebre/ex2197] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&-4\\ -2&1&2\\ -2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).