Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8349] mines PC 2022 Soit \(a\in\mathbf{R}\). Déterminer les valeurs propres de \(M=\pmatrix{1-a&0&a\cr0&a&1-a\cr a&1-a&0}\).

[oraux/ex6127] hec courts S 2013 Soit \(x\in\mathbf{R}\) et \(M_x\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \[M=\left(\begin{array}{ccc} 1&x&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0\end{array}\right).\]

1. Pour quelles valeurs de \(x\) la matrice \(M_x\) est-elle diagonalisable ?

2. Dans le cas ou elle n’est pas diagonalisable, montrer que \(M_x\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[oraux/ex7602] centrale PSI 2014 Soit \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et possède une unique valeur propre réelle \(a>1\).

2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle\sum\limits_{\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)}\lambda^n\) est un entier.

3. Déterminer la nature de la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\pi a^n)\).

[ev.algebre/ex2183] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[oraux/ex5784] ccp MP 2012 Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc}1&-1&1\\ -1&1&-1\\1&-1&1\end{array}\right)\). Montrer que \(A\) est diagonalisable :

1. sans calcul ;

2. en calculant \(\chi_A\) ;

3. par le théorème du rang ;

4. en calculant \(A^2\).