Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0595] imt MP 2023 Soient \(A=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr0&0&0}\) et \(C=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&0&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. On veut montrer qu’il n’existe pas de matrice \(B\) telle que \(B^2=A\). On suppose l’existence d’une telle matrice.

   Trouver un polynôme annulateur simple de \(B\). Conclure.

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(C\).

[ev.algebre/ex2183] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[examen/ex3547] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&-3&5\cr-1&-2&5\cr-1&-3&6}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), il existe des réels \(a_n\) et \(b_n\) tels que \(A^n=a_nI_3+b_nA\).

3. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Le résultat de la question précédente reste-t-il valable pour tout \(n\in\mathbf{Z}\) ?

4. Existe-t-il \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(M=\alpha I_3+\beta A\) et \(M^2=A\) ?

[concours/ex9530] mines PC 2005 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) pour que : \[\left(\begin{array}{ccc}a-b-c&2a&2a\\2b&b-a-c&2b\\2c&2c&c-a-b \end{array}\right)\] soit diagonalisable sur \(\mathbf{R}\).

[planches/ex5584] imt PSI 2019 Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(M^2=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\).