Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex2184] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 3&4&-1\\ -1&1&1\\0&3&2 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[oraux/ex4646] escp courts 2011 Soient trois nombres complexes \(a\), \(b\), \(c\). Calculer la matrice \(A^{7}\), avec : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1+i\sqrt3 &a&b\cr 0&1-i\sqrt 3&c\cr 0&0& 2\end{array}\right).\]

[oraux/ex6127] hec courts S 2013 Soit \(x\in\mathbf{R}\) et \(M_x\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \[M=\left(\begin{array}{ccc} 1&x&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0\end{array}\right).\]

1. Pour quelles valeurs de \(x\) la matrice \(M_x\) est-elle diagonalisable ?

2. Dans le cas ou elle n’est pas diagonalisable, montrer que \(M_x\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[examen/ex3547] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&-3&5\cr-1&-2&5\cr-1&-3&6}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), il existe des réels \(a_n\) et \(b_n\) tels que \(A^n=a_nI_3+b_nA\).

3. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Le résultat de la question précédente reste-t-il valable pour tout \(n\in\mathbf{Z}\) ?

4. Existe-t-il \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(M=\alpha I_3+\beta A\) et \(M^2=A\) ?

[concours/ex3371] ccp M 1993 Soit la matrice complexe \(\left(\begin{array}{ccc}a-b-c&2a&2a\\ 2b&b-a-c&2b\\2c&2c&c-a-b\end{array}\right)\). À quelle condition est-elle diagonalisable ?