Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5175] mines PC 2019 Soit \(A=\pmatrix{-4&-6&0\cr3&5&0\cr3&6&5}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Diagonaliser \(A\). En déduire une expression de \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

   Soient \((u_n)_{n\geqslant 0}\), \((v_n)_{n\geqslant 0}\), \((w_n)_{n\geqslant 0}\) trois suites réelles telles que : \[\forall n\in\mathbf{N},\quad u_{n+1}=-4u_n+6v_n,\quad v_{n+1}=3u_n+5v_n,\quad w_{n+1}=3u_n+6v_n+5w_n.\] On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(X_n={}^t(u_n\ v_n\ w_n)\).

2. Exprimer \(X_{n+1}\) en fonction de \(A\) et de \(X_0\).

3. En déduire une expression de \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) en fonction de \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\).

[oraux/ex6234] hec courts S 2015 Soit \(x\in\mathbf{R}\) et soit la matrice \(M_x=\left(\begin{array}{ccc}1&x&0\\0&0&1\\0&1&0\end{array}\right)\).

1. Pour quelles valeurs de \(x\) la matrice \(M_x\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que lorsqu’elle n’est pas diagonalisable, \(M_x\) est semblable à la matrice \(B=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[oraux/ex6813] hec courts S 2016 On considère les deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(\mathbf{R}^3\) définis par : \[\cases{F=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits\{(1,1,1)\}\cr G=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x+y-2z=0\}}\] Trouver un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont le noyau est \(F\) et l’image \(G\).

Peut-on le choisir diagonalisable ?

[planches/ex5588] tpe PSI 2019 Soit \(M=\pmatrix{0&-a&-b\cr a&0&-c\cr b&c&0}\) où \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}\).

1. Déterminer un polynôme annulateur de degré 3 de \(M\).

2. La matrice \(M\) est-elle inversible ?

3. Est-elle diagonalisable ?

4. Montrer que les valeurs propres de \(M^2\) sont négatives ou nulles.

[ev.algebre/ex2200] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).