Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2519] imt PSI 2024 Étudier la diagonalisabilité de \(A=\pmatrix{a&0&b\cr0&a+b&0\cr b&0&a}\) pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\).

[oraux/ex7582] mines PC 2014 Soit \(z\in\mathbf{C}\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(z\) pour que la matrice \(\pmatrix{0&z&z\cr1&0&z\cr1&1&0}\) soit diagonalisable.

[concours/ex1081] polytechnique MP 1998 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right) \in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\).

1. Étudier les valeurs propres de \(M\).

2. Soit \(\rho\) la valeur propre réelle, \(\sigma\) et \(\overline\sigma\) les valeurs propres non réelles. Montrer que \(\rho>1\) et \(|\sigma|<1\).

3. On pose \(u_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M^n\). Valeur de \(u_n\) en fonction de \(\rho\), \(\sigma\), \(\overline\sigma\) ? Formule de récurrence sur les \(u_n\) ?

4. Montrer que, pour tout \(\alpha\in\mathbf{R}\), les séries \(\sum\limits\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\alpha u_n)\) et \(\sum\limits\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\alpha\rho^n)\) sont de même nature.

[oraux/ex6813] hec courts S 2016 On considère les deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(\mathbf{R}^3\) définis par : \[\cases{F=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits\{(1,1,1)\}\cr G=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x+y-2z=0\}}\] Trouver un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont le noyau est \(F\) et l’image \(G\).

Peut-on le choisir diagonalisable ?

[examen/ex2522] imt PSI 2024 Soit \(M=\pmatrix{0&-a&-b\cr a&0&-c\cr b&c&0}\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\).

1. Trouver un polynôme annulateur de \(M\) de degré 3.

2. La matrice \(M\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

3. Montrer que les valeurs propres de \(M^2\) sont négatives ou nulles.