Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7583] mines PC 2014 Pour quels \(\phi\in\mathbf{R}\) la matrice suivante est-elle diagonalisable ? \[\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)&0}.\]

[planches/ex5688] imt PC 2019 Soient \(\varphi\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&0}\).

Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(\varphi\) pour que \(A\) soit diagonalisable.

[planches/ex2877] hec courts S 2018 On considère la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) : \[M=\pmatrix{e^{2i\pi/3}&e^{4i\pi/3}&1\cr e^{4i\pi/3}&1&e^{2i\pi/3}\cr1&e^{2i\pi/3}&e^{4i\pi/3}}.\]

1. Calculer la trace et le rang de \(M\).

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

3. Justifier que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\pmatrix{e^{4i\pi/3}&e^{2i\pi/3}&1\cr e^{2i\pi/3}&1&e^{4i\pi/3}\cr1&e^{4i\pi/3}&e^{2i\pi/3}}\).

[planches/ex2798] tpe PC 2017 Soit \(M=\pmatrix{j&j^2&1\cr j^2&1&j\cr1&j&j^2}\). Calculer le rang de \(M\). Préciser son spectre. Est-elle trigonalisable ? diagonalisable ?

[planches/ex4063] ccp PSI 2018 Soit \(u\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) tel que \(u^3=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) et \(u\neq\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

1. Montrer que 1 est valeur propre de \(u\).

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^2+u+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})=\mathbf{R}^3\).

3. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de \(u\) est \(\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0}\).