[examen/ex4144] imt PSI 2025 On considère \(A=\pmatrix{-1&4&0\cr0&1&0\cr1&0&3}\).
[examen/ex4144]
Déterminer le spectre de \(A\). Montrer que \(A\) est semblable à une matrice diagonale \(D\) que l’on explicitera.
Montrer que toute matrice commutant avec \(D\) est une matrice diagonale.
Soit \(P(X)=X^7+X+1\). Identifier les matrices \(M\) telles que \(P(M)=A\).
[planches/ex3426] mines MP 2018 Soit \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\). Étudier le caractère diagonalisable de \[M=\pmatrix{0&a&b\cr-1/a&0&c\cr-1/b&-1/c&0}\] pour \((a,b,c)\in(\mathbf{K}^*)^3\).
[planches/ex3426]
[oraux/ex6385] hec courts S 2013 Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et soit \(A\) la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).
[oraux/ex6385]
On suppose que \(f\) n’est pas diagonalisable et qu’il vérifie : \((f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\mathbin{\circ}(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})=0\).
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) sont supplémentaires.
Montrer que \(A\) est semblable à \(\pmatrix{0&-1&0\cr1&0&0\cr0&0&1}\).
[planches/ex8196] mines PSI 2022 Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in\mathbf{R}\), \(A=\pmatrix{\alpha^2&\alpha\beta&\alpha\gamma\cr\alpha\beta&\beta^2&\beta\gamma\cr\alpha\gamma&\beta\gamma&\gamma^2}\) et \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice \(A\).
[planches/ex8196]
Montrer qu’il existe un vecteur colonne \(C\) tel que \(A=CC^T\).
Déterminer le noyau et l’image de \(A\).
Chercher les éléments propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Retrouver le résultat en remarquant que \(f\) est proportionnel à un projecteur.
[planches/ex7494] escp B/L 2022 Soit \(E=\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique \(B=\pmatrix{e_1,e_2,e_3}\). Soit \(A=\pmatrix{6&-6&5\cr-4&-1&10\cr7&-6&4}\). On considère l’endomorphisme \(u\) de \(E\), qui a pour matrice \(A\) dans la base \(B\).
[planches/ex7494]
Dans la suite, on confond \(\mathbb{R}^3\) et l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) des matrices colonnes à 3 lignes. On dit qu’un sous-espace \(F\) de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) est stable par \(A\), si pour tout \(X\in F, AX\in F\).
Vérifier que \(-1\) et \(5\) sont valeurs propres de \(u\) et déterminer les sous-espaces propres associés \(E_{-1}\) et \(E_5\). On admet désormais que ces deux valeurs sont les seules valeurs propres de \(u\).
Les sous-espaces \(E_{-1}\) et \(E_5\) sont-ils stables par \(A\) ?
L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?
Déterminer tous les sous-espaces de \(E\) de dimension \(1\) qui sont stables par \(A\).
Soit \(P\) un sous-espace de dimension \(2\) stable par \(A\).
Déterminer \(P\) si on suppose en plus que \(P\) contient \(E_5\).
Vérifier qu’une solution est \(P_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-5Id)^2\).
Soit \(P\) un sous-espace de dimension \(2\) stable par \(A\). Que dire de \(P \cap P_1\) ?
En déduire tous les sous-espaces vectoriels stables par \(A\).
[examen/ex4138] imt PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{1&a&b\cr0&1&c\cr0&0&-1}\).
[examen/ex4138]
Calculer le spectre de \(A\) et son polynôme caractéristique.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \(a\), \(b\), \(c\), pour que \(A\) soit diagonalisable.
[concours/ex1575] ccp, tpe, int, ivp MP 1998 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc} 3&5&-1\\0&1&-3\\0&-1&3\end{array}\right)\). Montrer que toute matrice dont le carré est \(A\) est diagonalisable et trouver ces matrices.
[concours/ex1575]
[ev.algebre/ex2298] Vrai ou faux ?
[ev.algebre/ex2298]
La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&3\\0&0&2\end{array}\right)\) est diagonalisable.
[planches/ex2707] ccp PSI 2017 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\), \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\) et \(M=\pmatrix{a+b&c&b\cr c&a+2b&c\cr b&c&a+b}\).
[planches/ex2707]
Diagonaliser \(K\).
Exprimer \(M\) en fonction des puissances de \(K\).
Diagonaliser \(M\). En déduire, pour \(k\in\mathbf{N}\), la valeur de \(M^k\).
[planches/ex7429] escp S 2022
[planches/ex7429]
Soit \(\mathcal{E}\) l’ensemble des suites réelles \((u_p)_{p \in \mathbb{N}}\) vérifiant la relation \[\forall p \in \mathbb{N},\quad u_{p+3} = 4\,u_{p+2} -5 u_{p+1} + 2u_p\]
Montrer que \(\mathcal{E}\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(3\).
Vérifier que la suite \((p)_{p \in \mathbb{N}}\) appartient à \(\mathcal{E}\).
Déterminer les suites géométriques appartenant à \(\mathcal{E}\).
En déduire l’expression des suites appartenant à \(\mathcal{E}\).
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice dans la base canonique \[A = \pmatrix{7&3&-4 \cr -6&-2&5 \cr 4&2&-1}\]
Vérifier que \(1\) et \(2\) sont valeurs propres de \(A\).
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?
Justifier que \(A\) est semblable à \[T = \pmatrix{1&1&0 \cr 0&1&0 \cr 0&0&2}\]
En déduire que le polynôme \(\, P(X) = (X-1)^2(X-2) \,\) est annulateur de \(A\).
Justifier que \[\forall p \in \mathbb{N}\,,\; \exists (a_p,b_p,c_p) \in \mathbb{R}^3,\quad A^p = a_p\,A^2 + b_p\,A + c_p\,I_3\] où \(A\) a été définie dans la question précédente.
Montrer que \((a_p)_{p \in \mathbb{N}} \in \mathcal{E}\).
Expliciter \(A^p\) en fonction de \(A^2\), \(A\), \(I_3\).
La matrice \(A\) est-elle inversible? Si oui, expliciter son inverse.
[planches/ex3909] centrale PSI 2018
[planches/ex3909]
Diagonaliser \(A=\pmatrix{0&-1&0\cr-2&2&-1\cr0&-1&0}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) sans calculer le polynôme caractéristique.
Soit \(A=\pmatrix{\lambda&-a&0\cr-\alpha&\mu&-b\cr0&-\beta&\nu}\) avec \(a\alpha>0\) et \(b\beta>0\). Montrer que ses valeurs propres sont réelles et que \(A\) est diagonalisable.
[oraux/ex6804] hec S 2016
[oraux/ex6804]
Question de cours : Indiquer pour quels nombres réels les séries \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}x^n\) et \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}nx^{n-1}\) sont convergentes et préciser alors leurs sommes respectives.
Soit \(a\) un nombre réel strictement positif.
On note \(M=\pmatrix{1+a&-1&1\cr1+2a&-a-1&1\cr2a&-2a&a}\), \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) est \(M\), et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\).
Montrer que \(-a\) est une valeur propre de \(u\) et trouver la dimension du sous-espace propre \(E_{-a}(u)\) associé.
On pose : \(f=(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})^2\) (composé de l’endomorphisme \(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) avec lui-même).
Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\).
Montrer que \(E_{-a}(u)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\) sont deux sous-espaces supplémentaires de \(\mathbf{R}^3\).
En déduire un polynôme annulateur de \(u\) de degré 3.
On note \(p\) le projecteur de noyau \(E_{-a}(u)\) et d’image \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\). On pose : \(h=u-ap+a(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)\).
Montrer que \(h^2\) est l’endomorphisme nul.
Établir pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’égalité : \(u^n=a^np+(-a)^n(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)+na^{n-1}h\).
On suppose dans cette question que \(0<a<1\).
Montrer que l’endomorphisme \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u\) est bijectif et que sa réciproque \((\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u)^{-1}\) appartient à l’espace vectoriel \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}},p,h)\).
[examen/ex0369] hec E 2023 Soit \(\alpha\) un nombre réel. On considère la matrice : \[A_\alpha=\pmatrix{-1&2-\alpha&-\alpha\cr-\alpha&1&-\alpha\cr2&\alpha-2&\alpha+1}\] et on note \(\phi_\alpha\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) représenté par \(A_\alpha\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).
[examen/ex0369]
On appelle \(f_1\) le vecteur \(\pmatrix{1\cr1\cr-1}\) et \(f_2\) le vecteur \(\pmatrix{1\cr1\cr-2}\).
Question de cours : critère de diagonalisabilité d’une matrice selon les sous-espaces propres.
Montrer que, quelque soit \(\alpha\), la matrice \(A_\alpha\) admet la valeur propre 1.
On note \(E_1(\alpha)\) le sous-espace propre de \(A_\alpha\) associé à la valeur propre 1. Déterminer, suivant les valeurs de \(\alpha\), une base de \(E_1(\alpha)\).
On note \(F=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(f_1,f_2)\).
Montrer que l’image par \(\phi_\alpha\) de tout vecteur de \(F\) appartient à \(F\).
On appelle \(\widehat{\phi_\alpha}\) l’endomorphisme de \(F\) induit par \(\phi_\alpha\), c’est-à-dire vérifiant, pour tout vecteur \(V\) de \(F\), \(\widehat{\phi_\alpha}(V)=\phi_\alpha(V)\).
Donner une matrice de \(\widehat{\phi_\alpha}\).
Montrer que pour tout réel \(\alpha\), \(\alpha-1\) est une valeur propre de \(A_\alpha\) et que l’on peut trouver un vecteur \(f_3\) de \(\mathbf{R}^3\) ne dépendant pas de \(\alpha\), qui soit, pour tout réel \(\alpha\), vecteur propre de \(A_\alpha\) associé à la valeur propre \(\alpha-1\).
Pour quelles valeurs du paramètre \(\alpha\) la matrice \(A_\alpha\) est-elle diagonalisable ?
[planches/ex5177] mines PC 2019 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à la matrice \(A=\pmatrix{1&0&1\cr-1&2&1\cr1&-1&1}\).
[planches/ex5177]
Montrer que \(f\) est trigonalisable dans \(\mathbf{R}\).
Montrer que l’espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1 et contient le vecteur \(u={}^t(1,1,0)\).
On pose \(v={}^t(0,0,1)\). Calculer \((f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})(v)\).
Déterminer un vecteur propre \(w\in\mathbf{R}^3\) de l’endomorphisme \(f\) associé à la valeur propre 2 et montrer que la famille \((u,v,w)\) est une base de \(\mathbf{R}^3\).
Calculer, pour \(k\in\mathbf{N}\), \(f_k(v)\) et en déduire \(T^k\) où \(T\) désigne la matrice de \(f\) dans la base \((u,v,w)\).
Calculer \(A^k\) pour \(k\in\mathbf{N}\).
[concours/ex4076] mines M 1990 Résoudre \(AX=B\) avec \[A=\left[\begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\1&0&-1\end{array}\right]\quad\hbox{et}\quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ -2&-2&-2\\1&1&1\end{array}\right].\] Trigonaliser \(A\).
[concours/ex4076]
[concours/ex5003] escp B/L 1999 Soit \(M_a=\left(\begin{array}{ccc}a+1&1-a&a-1\\ -1&3&2a-3\\ a-2&2-a&3a-2\end{array}\right)\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\), \(a\) étant un paramètre réel.
[concours/ex5003]
On note \(f_a\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) associé à \(M_a\) relativement à la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).
Déterminer les valeurs propres de \(M_a\). La matrice \(M_a\) est-elle diagonalisable ?
[concours/ex9067] escp B/L 2010 On considère la matrice \(A= \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)\) et l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbf{R}^3\) qui lui est canoniquement associé.
[concours/ex9067]
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?
Démontrer que les deux sous-espaces vectoriels \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-Id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\smash{(f-3Id)^2}\right)\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\).
En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[T=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).\]
Calculer \(T^n\) pour \(n\) entier naturel non nul. En déduire \(A^n\).
La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, donner l’expression de \((A^{-1})^n\) pour \(n \in \mathbf{N}^*\).
[concours/ex6635] hec E 2008 Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&-1\\ -1&2&-1\\1&-1&2\end{array}\right).\]
[concours/ex6635]
Trouver une relation entre \(A^2\), \(A\) et \(I\) (matrice identité d’ordre 3).
En déduire que \(A\) est inversible et calculer son inverse.
Calculer les valeurs propres possibles de \(A\).
\(A\) est-elle diagonalisable ?
[oraux/ex6020] hec E 2014
[oraux/ex6020]
Question de cours : Définition de deux matrices semblables.
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est donnée par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right).\] On note \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\) et on pose : \(f^2=f\mathbin{\circ} f\).
Montrer que \(2f-f^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).
Montrer que l’endomorphisme \(f\) est un automorphisme. Quel est l’automorphisme réciproque de \(f\) ?
Montrer que \(f\) admet l’unique valeur propre \(\lambda=1\). L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?
déterminer le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. Quelle est sa dimension ?
Calculer pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(A^n\) en fonction de \(n\).
Le résultat précédent s’étend-t-il au cas où \(n\in\mathbf{Z}\) ?
Déterminer une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est la matrice \(C=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).
[oraux/ex6247] hec courts E 2015 On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).
[oraux/ex6247]
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? inversible ?
On note \(I\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). Établir l’existence d’une matrice \(N\) telle que \(A=I+N\). Déterminer pour tout \(k\in\mathbf{N}\), la matrice \(A^k\).
On rappelle l’identité remarquable : \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\). Déterminer \(A^{-1}\).
[planches/ex3427] mines MP 2018 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}_+^*\setminus\{1\}\). Réduire la matrice : \[\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ba&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ca\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ab&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_cb\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ac&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_bc&0}.\]
[planches/ex3427]
[concours/ex9540] centrale MP 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&2\end{array}\right)\).
[concours/ex9540]
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).
Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).
[oraux/ex7499] ccp PSI 2013 Soient \(A=\pmatrix{a&1&b\cr1&c&d\cr e&f&1}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(\mathscr{B}=\left(\pmatrix{1\cr1\cr0},\pmatrix{1\cr2\cr1},\pmatrix{1\cr-1\cr2}\right)\). Trouver \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) tels que \(\mathscr{B}\) soit une base de vecteurs propres de \(A\).
[oraux/ex7499]
[concours/ex4436] escp S 2006 On note \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On note \({\cal F}\) l’ensemble des éléments \(M\) de \(E\) tels que si \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\), alors \(m_{1,2}=m_{1,3}=m_{2,1}=0\).
[concours/ex4436]
Montrer que \({\cal F}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et donner sa dimension.
Soit \(A\in E\) de rang égal à \(1\). On note \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).
On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u=\{0\}\). Montrer que \(A\) est semblable à un élément de \({\cal F}\).
On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\neq \{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u \subset \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\). En déduire que \(A\) est encore semblable à un élément de \({\cal F}\).
On suppose que \(A\in E\) est de rang \(2\). On note \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).
On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\neq \{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u \subset \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\). Soit alors \(x\) un vecteur non nul de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\) et \(y\) tel que \(x=u(y)\). En utilisant ces deux vecteurs, montrer que \(A\) est encore semblable à un élément de \({\cal F}\).
Soit \(A\in E\) admettant une valeur propre réelle. Montrer que \(A\) est semblable à un élément de \({\cal F}\).
[examen/ex2185] mines PC 2024 Soit \(a\) un réel. On pose \(g:t\mapsto\displaystyle\frac{a\,e^t}{2-t}\).
[examen/ex2185]
Montrer qu’il existe une unique valeur de \(a\) pour laquelle il existe une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) soit la fonction génératrice.
On suppose maintenant que \(a\) est égal à cette valeur et que \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) est la fonction génératrice.
Trouver la probabilité que \(X\) soit pair.
Quelle est la probabilité que la matrice \(\pmatrix{X&X&0\cr-X&-X&0\cr X&X&0}\) soit diagonalisable ?
[ev.algebre/ex2148] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}5&-1&1\\ -1&1&-3\\1&-3&1\end{array}\right)\) ; calculer \(A^n\).
[ev.algebre/ex2148]
[planches/ex4129] imt PC 2018 Soit \(J=\pmatrix{-1&0&1\cr1&1&1\cr0&1&2}\).
[planches/ex4129]
Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ?
Montrer que \(J\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
On pose \(F:x\mapsto(-1+e^x)J+I_3\). Calculer \(F(x)F(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\).
[concours/ex5070] escp S 1999 On note \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\) l’espace vectoriel réel des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On considère la matrice \(A\) définie par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & -1 \\1 & 0 & -1 \\1 & 1 & 0 \end{array}\right).\]
[concours/ex5070]
Déterminer la matrice \(B=A^2+2I\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?
Montrer que \(B^2=B+2I\).
Déterminer les valeurs propres de \(B\). En déduire les sous-espaces propres associés.
Vérifier que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^2+2\) est une valeur propre de \(B\). En déduire que \(A\) n’est pas diagonalisable dans \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\).
Montrer que \(B\) est inversible et exprimer \(B^{-1}\) en fonction des matrices \(B\) et \(I\).
On s’intéresse maintenant aux puissances de \(B\).
On pose, pour tout \(n\geqslant 2\), \(X^n=(X^2-X-2)Q_n(X)+R_n(X)\) où \(Q_n\) et \(R_n\) sont deux polynômes tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(R_n)<2\).
On note \(R_n(X)=a_nX+b_n\). Déterminer le couple \((a_n,b_n)\).
En déduire l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), \(B\) et \(n\), pour \(n\geqslant 0\).
Montrer que l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), de \(B\) et de \(n\), qui a été obtenue pour \(n\geqslant 0\), est encore valable pour les entiers négatifs.
[planches/ex2451] centrale MP 2017 (avec Python)
[planches/ex2451]
Python
Soit, pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), \(M_{a,b}\) la matrice \(M_{a,b}=\pmatrix{3a+b&-4a-b&2a\cr2a+b&-3a-b&2a\cr b&-b&a}\). On pose \[F=\{M_{a,b},\ (a,b)\in\mathbf{C}^2\}\] et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(R_n=\{(a,b)\in\mathbf{C}^2,\ (M_{a,b})^n=I_3\}\).
Programmer la fonction \(m(a,b)\) qui renvoie la matrice \(M_{a,b}\).
Calculer les produits \(M_{0,1}M_{1,0}\), \(M_{1,0}M_{0,1}\), \(M_{0,1}^2\), \(M_{1,0}^2\).
Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel. Est-ce une sous-algèbre ?
Déterminer la plus petite sous-algèbre contenant \(F\). Quelle est sa dimension ? Est-elle commutative ?
Déterminer les éléments de \(R_n\).
Montrer que si \(M_{a,b}\) est diagonalisable alors \(bM_{0,1}\) aussi. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M_{a,b}\) soit diagonalisable.
[oraux/ex6402] hec E 2013
[oraux/ex6402]
Question de cours : condition suffisante de diagonalisabilité d’une matrice.
Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \(A=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr-2&1&2}\).
Soit \(\lambda\in\mathbf{R}\). Montrer que le système \(AX=\lambda X\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\) possède des solutions non nulles si et seulement si \((\lambda^2-1)(\lambda-2)=0\). Donner alors les solutions de ce système.
En déduire une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(A=PDP^{-1}\).
Soit \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\) une suite réelle définie par : pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(x_{n+3}=2x_{n+2}+x_{n+1}-2x_n\).
On pose pour tout \(n\in\mathbf{N}\) : \(X_n=\pmatrix{x_n\cr x_{n+1}\cr x_{n+2}}\) et \(Y_n=P^{-1}X_n\).
Quelle relation a-t-on entre \(X_{n+1}\), \(X_n\) et \(A\) ?
En déduire l’expression de \(Y_n\) en fonction de \(n\), \(D\) et \(Y_0\).
Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(x_0\), \(x_1\) et \(x_2\) pour que la suite \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\) soit convergente (respectivement, pour que la série \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 0}x_n\) soit convergente).
On pose \(B=\pmatrix{5&0&-2\cr4&3&-4\cr8&0&-5}\) et pour tout \((a,b)\in\mathbf{R}^2\), \(M(a,b)=\pmatrix{5b&a&2b\cr4b&3b&a-4b\cr-2a+8b&a&2a-5b}\).
Montrer que tout vecteur propre de \(A\) est vecteur propre de \(B\). La réciproque est-elle vraie ?
En déduire que \(M(a,b)\) est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.
Déterminer les couples \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) pour lesquels la suite \(\left(\vphantom{|_|}\smash{M(a,b)^n}\right)_{n\in\mathbf{N}}\) converge vers la matrice nulle, c’est-à-dire que chacun de ses neuf coefficients est le terme général d’une suite tendant vers 0.
[examen/ex2429] imt MP 2024 Soient \(x\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{x&1&0\cr1&0&-1\cr0&-1&0}\).
[examen/ex2429]
La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse.
[planches/ex5687] imt PC 2019 Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c,d,e)\in\mathbf{R}^5\) pour que la matrice \(A=\pmatrix{a&b&c\cr0&a&d\cr0&0&e}\) soit diagonalisable.
[planches/ex5687]
Indication : Distinguer \(a=e\) et \(a\neq e\).
[concours/ex9105] hec courts E 2010 On note \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).
[concours/ex9105]
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base \(\mathscr{B}\) est \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).
Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\), \(f(e_2)\), \(f(-e_1+e_3)\).
Montrer que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)\).
\(M\) est-elle diagonalisable ?
[examen/ex1894] mines PSI 2024 Soit \(A=\pmatrix{-1&1&1\cr0&5&-14\cr0&-3&-8}\).
[examen/ex1894]
Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer qu’il existe un unique \((\alpha_n,\beta_n,\gamma_n)\in\mathbf{R}^3\) et un unique \(Q_n\in\mathbf{R}[X]\) tels que \(X^n=(X+1)^2(X+2)Q_n(X)+\alpha_n(X+2)+\beta_n (X+1)(X+2)+\gamma_n(X+1)^2\).
Déterminer \(A^n\).
[planches/ex4125] imt PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&a&1\cr a&0&1\cr a&1&0}\) avec \(a\in\mathbf{R}\).
[planches/ex4125]
Donner le rang de \(A\).
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
[planches/ex7387] imt PC 2021 Soit \(a>0\). On pose \(A=\pmatrix{0&a&a^2\cr1&0&1\cr1/a&1/a^2&0}\).
[planches/ex7387]
Calculer ses espaces propres.
[examen/ex4032] imt MP 2025 Soient \(a>0\) et \(A=\pmatrix{0&-a&a^2\cr1&0&-a\cr1&1&0}\) et \(u=\pmatrix{a\cr0\cr1}\).
[examen/ex4032]
Calculer \(Au\). Que peut-on en déduire ?
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\). La matrice \(A\) est-elle inversible ?
Déterminer le spectre réel de \(A\).
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(A\) soit diagonalisable.
[concours/ex4359] hec E 2006 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique s’écrit : \(A=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right)\).
[concours/ex4359]
Définition et propriétés des matrices de passage.
Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\).
Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f\).
Donner les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).
\(f\) est-il diagonalisable ?
Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).
On note \(I\) la matrice identité dans la base canonique. Déterminer les réels \(a\) tels que l’on ait \((A-aI)^2=I\).
[concours/ex2299] mines M 1995 Soit \(A=\pmatrix{0&1&1\cr-2&3&2\cr1&-1&0}\). Calculer \(A^n\).
[concours/ex2299]
[oraux/ex7771] mines PSI 2016 Soit \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{K}^*\). Étudier la diagonalisabilité de \(A=\pmatrix{0&a&b\cr1/a&0&c\cr1/b&1/c&0}\).
[oraux/ex7771]
[oraux/ex6832] hec B/L 2016 Soit \(E=\mathbf{R}_2[X]\) l”espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.
[oraux/ex6832]
On note \(\mathscr{B}=(1,X,X^2)\) la base canonique de \(E\) et \(\mathscr{C}=\left(\vphantom{|_|}(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\right)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).
On pose : \(Q_0=-X^2+1\), \(Q_1=\displaystyle{1\over2}(X^2+X)\) et \(Q_3=\displaystyle{1\over2}(X^2-X)\).
Question de cours : Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme.
Montrer que \(\mathscr{V}=(Q_0,Q_1,Q_2)\) est une base de \(E\). Donner la matrice de passage \(A\) de \(\mathscr{B}\) vers \(\mathscr{V}\).
Soit \(\Phi\) l’application de \(E\) dans \(\mathbf{R}^3\) définie par : pour tout \(P\in E\), \(\Phi(P)=\left(\vphantom{|_|}P(0),P(1),P(-1)\right)\). Montrer que \(\Phi\) est linéaire et bijective.
Déterminer la matrice \(A^{-1}\).
Soit \(\theta\) l’application de \(\mathbf{R}^3\) dans \(E\) définie par : \(\theta(a,b,c)=a+bX+cX^2\).
Montrer que \(\theta\) est une application linéaire bijective.
Donner la matrice de \(\theta\) lorsque \(\mathbf{R}^3\) est muni de sa base canonique \(\mathscr{C}\) et \(E\) de la base \(\mathscr{V}\).
On pose : \(\Psi=\Phi\mathbin{\circ}\theta\).
Justifier que \(\Psi\) est un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et donner sa matrice dans la base canonique \(\mathscr{C}\).
Montrer que 1 est valeur propre de \(\Psi\) et donner un vecteur propre associé.
[examen/ex0471] centrale PSI 2023 Soit \(A=\pmatrix{3&-1&2\cr2&0&1\cr1&-1&2}\).
[examen/ex0471]
Montrer que \(A\) a une valeur propre double \(a>0\) et une simple \(b>0\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Soit \(f\) une fonction de \(\mathbf{R}^{+*}\) dans \(\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\). Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P_f\in\mathbf{R}_2[X]\) tel que : \[P_f(a)=f(a),\quad P_f(b)=f(b),\quad P'_f(a)=f'(a).\]
Pour toute fonction \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^{+*},\mathbf{R})\), on pose \(f(A)=P_f(A)\). Calculer \(f(A)\) dans les cas où \(f:x\mapsto x^2\), puis \(f:x\mapsto x^3\).
Désormais on prend \(f:x\mapsto\displaystyle\frac{1}{x}\). Conjecturer la valeur de \(Af(A)\) et prouver cette conjecture.
[oraux/ex5806] ccp PSI 2012 Soient \(z\in \mathbf{C}\) et \(A(z)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&z\\1&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).
[oraux/ex5806]
Montrer que \(A(z)\) est diagonalisable sauf pour une valeur particulière de \(z\) que l’on précisera.
Soit \(\theta\in \mathbf{R}\setminus 2\pi\mathbf{Z}\). Montrer qu’il existe un unique \(z\in\mathbf{C}\) pour lequel \(e^{i\theta}\) est valeur propre de \(A(z)\). Déterminer cette valeur \(z(\theta)\) et calculer son module.
Tracer la courbe polaire \(\rho=|z(\theta)|\).
[examen/ex2033] mines PC 2024 Soit \(\alpha\in\mathbb{C}\). La matrice \(M=\pmatrix{1&\alpha&0\cr\alpha&0&1\cr0&1&-1}\) est-elle diagonalisable ?
[examen/ex2033]
[oraux/ex8670] PC 2016 Soit \(A=\displaystyle{1\over3}\pmatrix{a&a+1&2\cr a+1&-2&a\cr-2&-a&a+1}\). Préciser les valeurs de \(a\) pour lesquelles cette matrice est orthogonale. Déterminer alors les valeurs propres.
[oraux/ex8670]
[oraux/ex6038] escp S 2014 On note \(I_3\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).
[oraux/ex6038]
Montrer qu’il existe un unique \(\alpha\in \mathbf{R}\) telle que la matrice \(J_\alpha=\pmatrix{\alpha& 0& 1\cr 1&1&1\cr {-2}&0&{-1}}\) soit une matrice de projecteur.
On suppose désormais que \(\alpha\) prend cette valeur et on note \(J\) la matrice associée.
Pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on pose \(F (x) = I_3 + (-1 + e^x )J\) et \(G(x) = I_3 - (1 + e^x )J\).
Calculer, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(F (x)F (y)\).
La matrice \(F(x)\) est-elle inversible ?
La matrice \(G(x)\) est-elle inversible ?
Déterminer les éléments propres de \(J\).
Pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), on pose \(M_{a,b} = aI_3 + bJ\). Montrer qu’il existe une matrice \(P\) inversible telle que, pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), la matrice \(\Delta_{a,b}=P^{-1} M_{a,b} P\) soit une matrice diagonale que l’on explicitera.
Montrer que si \(M_{a,b}\) est inversible, alors : \[\exists x \in \mathbf{R},\ M_{a,b} = aF(x) \hbox{ ou } M_{a,b} = aG(x).\] Dans ce cas, calculer \(M_{a,b}^{-1}\) en fonction de \(a\), \(b\), \(J\) et \(I_3\).
On pose : \(\mathscr{C}_{a,b}=\{A\in \mathscr{M}_3(\mathbf{R})\ / \ AM_{a,b}=M_{a,b}A\}\).
On suppose que \(M_{a,b}\) est inversible.
Montrer que l’ensemble \(\mathscr{C}_{a,b}\) est un espace vectoriel et déterminer sa dimension.
[planches/ex6348] hec courts E 2021 Soit \(a \in \mathbf{R}\). On note : \[A =\pmatrix{2 & 0 & 4\cr3 & -4 & 12\cr1 & -2 & 5},\qquad A_0 =\pmatrix{2+a & 0 & 4\cr3 & -4+a & 12\cr1 & -2 & 5+a}\qquad \hbox{et} \qquad P =\pmatrix{2 & -4 & -4\cr1 & 0 & 3\cr0 & 1 & 2}\]
[planches/ex6348]
Calculer \(AP\).
\(A\) est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ? Donner une matrice semblable à \(A\).
Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\), \(A_a\) est-elle diagonalisable ? Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\), \(A_a\) est-elle inversible ?
[examen/ex0594] imt MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}^{+*}\) et \(M=\pmatrix{1&\frac ba&\frac ca\cr\frac ab&1&\frac cb\cr\frac ac&\frac bc&1}\). Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de \(M\).
[examen/ex0594]
[ev.algebre/ex2199] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?
[ev.algebre/ex2199]
Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).
[planches/ex7942] mines MP 2022 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(AB=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\). Montrer que \(BA\) est diagonalisable.
[planches/ex7942]
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