Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8986] ccinp PC 2022 Soit \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(M=\pmatrix{0&0&c^2\cr0&b^2&0\cr a^2&0&0}\). Déterminer les valeurs propres de \(M\) en fonction de \(a\), \(b\) et \(c\).

[planches/ex2800] ccp PC 2017 Soient \[M(a,b,c)=\pmatrix{a&b&c\cr c&a&b\cr b&c&a}\quad\hbox{et}\quad E=\{M(a,b,c),\ (a,b,c) \in\mathbf{R}^3\}.\]

1. On note \(J=M(0,1,0)\). Calculer \(J^2\). Exprimer \(M(a,b,c)\) en fonction de \(I_3\), \(J\), \(J_2\).

2. L’ensemble \(E\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ? Si oui, quelle est sa dimension ? Est-il stable par produit ?

3. La matrice \(J\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{C}\) ? Donner ses valeurs propres en fonction de \(j=e^{2i\pi/3}\), ainsi que les vecteurs propres associés.

4. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{C}\) ?

5. Montrer que \(M\) est diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) si et seulement si \(b=c\).

6. On note \(f_{a,b,c}\) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice \(M(a,b,c)\). À quelles conditions \(f_{a,b,c}\) est un projecteur ? Donner alors son noyau et son image.

[concours/ex9755] ensiie PSI 2008 Soient \(a\in\mathbf{R}\setminus\pi\mathbf{Z}\) et \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0\end{array}\right)\).

1. Donner les valeurs propres de \(A\).

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? La diagonaliser quand c’est possible.

[concours/ex9741] centrale PC 2008

1. Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&a&2ab\\a&0&2ab\\2ab&a&0\end{array}\right)\) où \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Déterminer (avec Maple) les valeurs propres et les sous-espaces propres en fonction de \(a\) et \(b\).

2. On pose \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0\end{array}\right)\). Réduire \(A\). Lorsque \(\theta=\pi/3\), calculer \(A^n\).

[ev.algebre/ex2191] Soit \(a\), \(b\), \(c\) trois nombres réels. On considère l’endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{R}^3\), muni de la base \(\mathscr{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}\), dont la matrice dans \(\mathscr{B}\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&c\\0&b&0\\a&0&0\end{array}\right).\]

1. Montrer que \(\lambda\) est une valeur propre de \(u\) si et seulement si : \[(\lambda-b)(\lambda^2-ac)=0.\]

2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(u\), en distinguant \(b^2\neq ac\) et \(b^2=ac\).

3. A quelles conditions sur \(a\), \(b\), \(c\), \(u\) est-il diagonalisable ?