Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2800] ccp PC 2017 Soient \[M(a,b,c)=\pmatrix{a&b&c\cr c&a&b\cr b&c&a}\quad\hbox{et}\quad E=\{M(a,b,c),\ (a,b,c) \in\mathbf{R}^3\}.\]

1. On note \(J=M(0,1,0)\). Calculer \(J^2\). Exprimer \(M(a,b,c)\) en fonction de \(I_3\), \(J\), \(J_2\).

2. L’ensemble \(E\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ? Si oui, quelle est sa dimension ? Est-il stable par produit ?

3. La matrice \(J\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{C}\) ? Donner ses valeurs propres en fonction de \(j=e^{2i\pi/3}\), ainsi que les vecteurs propres associés.

4. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{C}\) ?

5. Montrer que \(M\) est diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) si et seulement si \(b=c\).

6. On note \(f_{a,b,c}\) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice \(M(a,b,c)\). À quelles conditions \(f_{a,b,c}\) est un projecteur ? Donner alors son noyau et son image.

[oraux/ex5888] ccp PC 2012 Étudier la diagonalisabilité de \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&c^2\\0&b^2&0\\a^2&0&0\end{array}\right)\) où \(a,b,c\in \mathbf{R}\).

[concours/ex9741] centrale PC 2008

1. Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&a&2ab\\a&0&2ab\\2ab&a&0\end{array}\right)\) où \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Déterminer (avec Maple) les valeurs propres et les sous-espaces propres en fonction de \(a\) et \(b\).

2. On pose \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0\end{array}\right)\). Réduire \(A\). Lorsque \(\theta=\pi/3\), calculer \(A^n\).

[planches/ex8986] ccinp PC 2022 Soit \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(M=\pmatrix{0&0&c^2\cr0&b^2&0\cr a^2&0&0}\). Déterminer les valeurs propres de \(M\) en fonction de \(a\), \(b\) et \(c\).

[concours/ex6683] escp S 2008 Soit \(a,b,c\) trois réels et \(M\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \[M=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & c\\ 0 & b & 0\\ a & 0 & 0\end{array}\right)\] On note \({\cal C}(M)=\{ X\in {\cal M}_3(\mathbb{R}) \mid XM=MX \}\).

1. Montrer que \({\cal C}(M)\) est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).

2. On suppose dans cette question que \(ac>0\).

   Déterminer les éléments propres de \(M\). En déduire que \(M\) est diagonalisable.

   On suppose désormais que \(ac>0\) et \(b^2\neq ac\).

3. 1. Soit \(X\) un élément de \({\cal C}(M)\). Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(M\) et \(u\) un vecteur propre associé. Montrer qu’il existe un réel \(\alpha\) tel que \(Xu=\alpha u\).

   2. En déduire que \(X\) est diagonalisable.

4. 1. Déterminer la dimension de \({\cal C}(M)\).

   2. Donner une base de \({\cal C}(M)\), lorsque \(a=c\). L’espace vectoriel \({\cal C}(M)\) est-il alors constitué de matrices symétriques ?